Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria
com
, verificando convergência (e calculando seu valor, se convergente) e depois testando convergência absoluta. Vamos usar teoria de integrais impróprias em intervalos infinitos e primitiva de exponenciais.
Passo 2
Definimos a integral imprópria como limite:
Calculamos a primitiva de
:
$$ F(x) = \int e^{-\alpha x},dx = -\frac{1}{\alpha} e^{-\alpha x}.
$$
Passo 3
Avaliação do limite mostra o valor e a condição de convergência.
mas isso só faz sentido se
, pois aí
quando
. Logo a integral converge exatamente para
.
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, observamos que
portanto
que também é finito para
. Assim a integral é absolutamente convergente sempre que
.
Resposta
A integral converge para
e é absolutamente convergente para todo
.