Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^infty e^-alpha x d x, alpha>0

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria integral0^infty e^-alpha x,dx com alpha>0, verificando convergência (e calculando seu valor, se convergente) e depois testando convergência absoluta. Vamos usar teoria de integrais impróprias em intervalos infinitos e primitiva de exponenciais.

Passo 2

Definimos a integral imprópria como limite:
integral0^infty e^-alpha x,dx = limbtoinfty integral0^b e^-alpha x,dx
Calculamos a primitiva de e^-alpha x:
$$ F(x) = \int e^{-\alpha x},dx = -\frac{1}{\alpha} e^{-\alpha x}.
$$

Passo 3

Avaliação do limite mostra o valor e a condição de convergência.
integral0^infty e^-alpha x,dx = limbtoinfty l[-tfrac1alphae^-alpha xr]0^b = limbtoinftyl(-tfrac1alphae^-alpha b+tfrac1alphae^0r) = tfrac1alpha,
mas isso só faz sentido se alpha>0, pois aí e^-alpha bto0 quando btoinfty. Logo a integral converge exatamente para 1/alpha.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, observamos que
|e^-alpha x| = e^-alpha x,
portanto
integral0^infty |e^-alpha x|,dx = integral0^infty e^-alpha x,dx = tfrac1alpha,
que também é finito para alpha>0. Assim a integral é absolutamente convergente sempre que alpha>0.

Resposta

A integral converge para 1/alpha e é absolutamente convergente para todo alpha>0.

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