Seja f(x) uma função satisfazendo
x <= f(x) <= e^x^2+x-1
para todo x in R. Então
a) lim x 0 f(x)=1
b) lim x 0 f(x)=0
c) lim x 0 f(x)=e.
d) lim x 0 f(x)=-1
e) lim x 0 f(x) não existe.

Passo 1

Vamos simplificar: temos uma função f tal que para todo x vale x <= f(x) <= e^x^2 + x - 1. O conteúdo principal aqui é limite de função e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) para achar limxto0f(x).

Passo 2

Calcular o limite do limite inferior: sabemos que x é o menor valor de f(x), logo
limxto0x = 0

Passo 3

Calcular o limite do limite superior: temos e^x^2 + x - 1, e usando continuidade da exponencial
limxto0l(e^x^2 + x - 1r) = e^0^2 + 0 - 1 = e^0 - 1 = 0

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como para todo x
x <= f(x) <= e^x^2 + x - 1
e ambos os limites das funções extremas quando x→0 são iguais a 0, segue que
limxto0f(x) = 0

Resposta

0

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