Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
Vamos estudar a integral imprópria
O conteúdo aqui é análise de convergência de integrais impróprias no ponto singulare . Precisamos testar o comportamento de quando e depois calcular seu valor quando convergente.
Passo 2
Para verificar a convergência no ponto , observamos que diverge negativamente mas com crescimento mais lento que qualquer potência. Em geral,
converge se, e somente se, . Aqui temos , isto é, e . Logo a condição de convergência é
Passo 3
Agora, para , calculamos o valor da integral usando a fórmula conhecida
Aqui basta tomar , de modo que . Assim
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, basta analisar
o qual segue exatamente o mesmo critério de convergência (pois -ln x)>0 e também converge apenas se alpha<1.
Resposta
A integral converge (e é absolutamente convergente) somente para 0, com valor
integral0^1ln xx^alpha,dx=-1(1-alpha)^2
Para alpha>=1, a integral diverge.