Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^1 ln xx^alpha d x, alpha>0

Passo 1

Vamos estudar a integral imprópria
integral0^1 ln xx^alpha,dx, alpha>0
O conteúdo aqui é análise de convergência de integrais impróprias no ponto singulare x=0. Precisamos testar o comportamento de ln x / x^alpha quando xto0^+ e depois calcular seu valor quando convergente.

Passo 2

Para verificar a convergência no ponto 0, observamos que ln x diverge negativamente mas com crescimento mais lento que qualquer potência. Em geral,
integral0^1 x^m|ln x|^p,dx
converge se, e somente se, m>-1. Aqui temos x^-alpha|ln x|, isto é, m=-alpha e p=1. Logo a condição de convergência é
-alpha>-1Long<=ftrightarrow alpha<1

Passo 3

Agora, para alpha<1, calculamos o valor da integral usando a fórmula conhecida
integral0^1 x^pln x,dx=-1(p+1)^2, p>-1
Aqui basta tomar p=-alpha, de modo que p+1=1-alpha>0. Assim
integral0^1ln xx^alpha,dx=integral0^1 x^-alphaln x,dx=-1(1-alpha)^2, alpha<1

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, basta analisar
integral0^1gl|ln xx^alphagr|,dx=integral0^1-ln xx^alpha,dx,
o qual segue exatamente o mesmo critério de convergência (pois -ln x)>0 e também converge apenas se alpha<1.

Resposta

A integral converge (e é absolutamente convergente) somente para 0, com valor
integral0^1ln xx^alpha,dx=-1(1-alpha)^2
Para alpha>=1, a integral diverge.

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