Determine f^prime prime(1) sabendo que f(x)=e^x^2+x.
a) e^2
b) 2 e^2
c) 5 e^2
d) 9 e^2
e) 11 e^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular f’’(1) sabendo que f(x)=e{x2+x}. O conteúdo envolve regra da cadeia para derivar exponenciais compostas e depois regra do produto para obter a segunda derivada.

Passo 2

Para achar f’(x), note que f é composta de g(x)=x^2+x e a exponencial. Pela regra da cadeia temos f’(x)=g’(x)·e^{g(x)}. Como g’(x)=2x+1, segue que f’(x)=(2x+1)e{x2+x}.

Passo 3

Para obter f’’(x), aplicamos a regra do produto em f’(x)=(2x+1)e{x2+x}. Chamando u(x)=2x+1 e v(x)=e{x2+x}, temos u’(x)=2 e v’(x)=e{x2+x}·(2x+1) (novamente cadeia). Assim f’’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)=2e{x2+x}+(2x+1)·e{x2+x}·(2x+1). Agrupando,
f’’(x)=e{x2+x}[2+(2x+1)^2]. Agora basta avaliar em x=1:

Passo 4

Em x=1 temos x^2+x=2 e (2x+1)^2+2 em x=1 é 3^2+2=9+2=11. Logo f’’(1)=11e^2.

Resposta

11 e^{2}

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