Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
A questão pede para estudar a convergência de
que é uma integral imprópria no infinito e envolve a função
Passo 2
Fazendo a substituição
o limite
vira
e
vira
. A integral fica
Passo 3
Agora aplicamos o teste da integral do tipo
:
- Se
, a integral converge (pois o expoente ). - Se
, a integral diverge (pois ).
Passo 4
Para
podemos calcular o valor:
Como o integrando é sempre não-negativo, toda convergência aqui é também absoluta.
Passo 5
Concluímos que a integral converge (e, portanto, absolutamente) se e somente se
, divergindo para
.
Resposta
A integral converge apenas para
, divergindo quando
. Para
o valor é