Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral2^infty d xx(ln x)^alpha, alpha>0

Passo 1

A questão pede para estudar a convergência de
integral2^infty dxx,(ln x)^alpha, alpha>0
que é uma integral imprópria no infinito e envolve a função 1/[x(ln x)^alpha]. Vamos usar a técnica de substituição e o teste de convergência de integrais do tipo integrala^infty t^-pdt.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = ln x, dt = dxx,
o limite x=2 vira t=ln2 e xtoinfty vira ttoinfty. A integral fica
integral2^infty dxx,(ln x)^alpha = integralln2^infty t^-alpha,dt

Passo 3

Agora aplicamos o teste da integral do tipo integrala^infty t^-alphadt:
  • Se alpha>1, a integral converge (pois o expoente p=alpha>1).
  • Se alpha<=1, a integral diverge (pois p<=1).

Passo 4

Para alpha>1 podemos calcular o valor:
integralln2^infty t^-alpha,dt = [t^1-alpha1-alpha]ln2^infty = 0 - (ln2)^1-alpha1-alpha = (ln2)^1-alphaalpha-1
Como o integrando é sempre não-negativo, toda convergência aqui é também absoluta.

Passo 5

Concluímos que a integral converge (e, portanto, absolutamente) se e somente se alpha>1, divergindo para 0.

Resposta

A integral converge apenas para alpha>1, divergindo quando 0. Para alpha>1 o valor é
integral2^infty dxx(ln x)^alpha = (ln2)^1-alphaalpha-1

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