Mostre pela definição que:
Se lim x a f(x)=0, então lim x a|1f(x)|=+infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de limite, que se limx to a f(x) = 0 então limx to a l|1/f(x)r| = +infty. O conteúdo aqui envolve a definição de limite finito (para f(x)) e a definição de limite infinito (para |1/f(x)|).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as duas definições de limite:
  1. limxto a f(x) = 0 significa que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que, para 0<|x-a|, vale
|f(x)-0| = |f(x)| < varepsilon
  1. limxto a g(x) = +infty significa que para todo M>0 existe de0 tal que, sempre que 0<|x-a|, temos
g(x) > M

Passo 3

Agora aplicamos essas definições ao nosso caso. Queremos mostrar que g(x)=|1/f(x)| tende a +infty. Então seja dado um M>0. Vamos relacionar M com um varepsilon na definição de f(x). Uma escolha natural é
varepsilon = 1M,
pois varepsilon>0. Como limxto a f(x)=0, existe de0 tal que, para 0<|x-a|, temos
|f(x)| < varepsilon = 1M

Passo 4

Como |f(x)| é positivo sempre que f(x)neq0, podemos tomar reciprocais sem inverter a desigualdade de forma incorreta. Logo, de
0<|f(x)| < 1M
segue
l|tfrac1f(x)r| > M
Isso mostra que, sempre que 0<|x-a|, temos |1/f(x)|>M.

Passo 5

Portanto, por definição de limite infinito, concluímos que
limxto a l|1/f(x)r| = +infty

Resposta

Usando a definição de limite, para todo M>0 escolhemos varepsilon=1/M. Pelo fato de limxto af(x)=0, existe de0 tal que 0<|x-a| implica |f(x)|<1/M. Invertendo a desigualdade (já que f(x)neq0 perto de a), obtemos |1/f(x)|>M. Isso mostra que limxto a|1/f(x)|=+infty.

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