Mostre pela definição que:
Se lim x a f(x)=-infty, então lim x a 1f(x)=0.

Passo 1

A questão pede para mostrar, usando a definição de limite, que se limxto a f(x) = -infty então limxto a tfrac1f(x)=0. O conteúdo é limites de funções com valor infinito e limites que resultam em zero, e vamos usar as definições formais de limite envolvendo -infty e de limite igual a 0.

Passo 2

Definições:
limxto a f(x)=-infty significa que para todo número M<0 existe de0 tal que se 0<|x-a| então f(x).
limxto a tfrac1f(x)=0 significa que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que se 0<|x-a| então |1/f(x)|.

Passo 3

Seja dado um varepsilon>0. Para garantir |1/f(x)|, precisamos que |f(x)|>1/varepsilon. Como f(x)to -infty, podemos impor que seja menor que um valor negativo muito grande. Tomemos
M = -1varepsilon,que é negativo. Pela definição de limxto a f(x)=-infty, existe de0 tal que se 0<|x-a| então
f(x) < M = -1varepsilonPara esses x, temos f(x)<0 e então
|1/f(x)| = 1-f(x) < 11/varepsilon = varepsilonBasta, então, escolher de. Assim, para todo varepsilon>0 encontramos de0 tal que se 0<|x-a| então |1/f(x)|, mostrando que limxto a 1/f(x)=0.

Resposta

0

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