Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^infty e^-x sen(1 / x) d x

Passo 1

A integral em questão é integral0^inftye^-xsinl(1/xr),dx. O conteúdo envolvido é estudo de convergência de integrais impróprias em 0 e em +infty, usando comparação e mudanças de variável quando necessário.

Passo 2

Para analisar a convergência em +infty, note que |sin(1/x)|<=1. Logo
Como |e^-xsin(1/x)|<= e^-x para qualquer integralN^inftye^-xdx=e^-N, a integral converge em N>0.

Passo 3

Para analisar a convergência em 0, observe que e^-x é contínua e limitada em [0,de, e |sin(1/x)|<=1. Então
integral0^de
Portanto, a integral converge também em 0.

Passo 4

Como em toda a faixa [0,infty) vale |e^-xsin(1/x)|<= e^-x e integral0^inftye^-xdx=1, concluímos que a integral é absolutamente convergente.

Passo 5

Não existe primitiva elementar para e^-xsin(1/x). O valor exato obtém-se via funções especiais, por exemplo usando a fórmula
integral0^inftye^-beta x-gamma/x,dx=2raizgammabeta;K1l(2raizbetagammar), com continuação analítica para gamma=-i. A parte imaginária fornece
integral0^inftye^-xsinl(1/xr)dx=Im!l(2(-i)^1/2K1l(2(-i)^1/2r)r)

Resposta

A integral integral0^inftye^-xsin(1/x),dx é absolutamente convergente, mas não possui forma primitiva elementar. Seu valor exato pode ser expresso em termos da função de Bessel modificada do segundo tipo: Iml(2(-i)^1/2K1(2(-i)^1/2)r).

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