Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
A integral em questão é
. O conteúdo envolvido é estudo de convergência de integrais impróprias em
e em
, usando comparação e mudanças de variável quando necessário.
Passo 2
Para analisar a convergência em
, note que
. Logo
Como
para qualquer
, a integral converge em
.
Passo 3
Para analisar a convergência em
, observe que
é contínua e limitada em
, e
. Então
Portanto, a integral converge também em
Passo 4
Como em toda a faixa
vale
e
, concluímos que a integral é absolutamente convergente.
Passo 5
Não existe primitiva elementar para
. O valor exato obtém-se via funções especiais, por exemplo usando a fórmula
Resposta
A integral
é absolutamente convergente, mas não possui forma primitiva elementar. Seu valor exato pode ser expresso em termos da função de Bessel modificada do segundo tipo:
.