Decida - justificando - se cada uma das sentenças a seguir é uma proposição. Caso afirmativo, determine seu valor lógico.
Passo 1
O enunciado pede que decidamos — justificando — se a sentença abaixo é uma proposição e, caso seja, qual é seu valor lógico:
Informações dadas: a sentença é a igualdade aritmética acima, sem variáveis explícitas nem parâmetros desconhecidos.
Passo 2
Primeiro precisamos entender claramente o que é uma “proposição” (vou explicar devagar, como a gente conversaria antes da prova). Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira ou é falsa. Exemplos para fixar:
é uma proposição (é verdadeira), enquanto
não é uma proposição por si só, porque depende do valor de
(tem uma variável não especificada). Frases como “Feche a janela” ou “Que dia é hoje?” também não são proposições porque não são declarações que podem ser classificadas como verdadeiras/falsas.
Passo 3
Agora olhamos para a sentença do enunciado:
.
Observações importantes que mostram que ela é uma candidata a proposição:
Observações importantes que mostram que ela é uma candidata a proposição:
- É uma declaração explícita (uma igualdade entre expressões numéricas).
- Não contém variáveis nem termos ambíguos — todos os números estão especificados.
Portanto ela é uma frase declarativa fechada, ou seja, atende à definição de proposição. Logo, sim: é uma proposição (ainda falta saber se é verdadeira ou falsa).
Passo 4
Para determinar o valor de verdade calculamos os dois lados da igualdade passo a passo. Começando pelo lado esquerdo:
Substituindo:
Agora multiplicamos:
Portanto o lado esquerdo vale
.
Passo 5
Agora o lado direito, calculando termo a termo:
Somando os dois resultados:
Portanto o lado direito também vale
.
Passo 6
Comparamos os resultados: lado esquerdo
e lado direito
. Como os dois lados são iguais, a igualdade é verdadeira. Uma observação didática extra (útil para a prova): isso é um caso concreto da propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, que diz, para números quaisquer
,
onde
representam números; no nosso caso
,
,
. Um exemplo adicional rápido para fixar:
dá
, ou seja
.
Resposta
A sentença é uma proposição; valor lógico: verdadeira.