Decida - justificando - se cada uma das sentenças a seguir é uma proposição. Caso afirmativo, determine seu valor lógico.
5 \cdot(3+1)=5 \cdot 3+5 \cdot 1

Passo 1

O enunciado pede que decidamos — justificando — se a sentença abaixo é uma proposição e, caso seja, qual é seu valor lógico:
5\cdot(3+1)=5\cdot3+5\cdot1
Informações dadas: a sentença é a igualdade aritmética acima, sem variáveis explícitas nem parâmetros desconhecidos.

Passo 2

Primeiro precisamos entender claramente o que é uma “proposição” (vou explicar devagar, como a gente conversaria antes da prova). Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira ou é falsa. Exemplos para fixar:
2+2=4
é uma proposição (é verdadeira), enquanto
x>0
não é uma proposição por si só, porque depende do valor de x (tem uma variável não especificada). Frases como “Feche a janela” ou “Que dia é hoje?” também não são proposições porque não são declarações que podem ser classificadas como verdadeiras/falsas.

Passo 3

Agora olhamos para a sentença do enunciado: \;5\cdot(3+1)=5\cdot3+5\cdot1\;.
Observações importantes que mostram que ela é uma candidata a proposição:
  • É uma declaração explícita (uma igualdade entre expressões numéricas).
  • Não contém variáveis nem termos ambíguos — todos os números estão especificados.
    Portanto ela é uma frase declarativa fechada, ou seja, atende à definição de proposição. Logo, sim: é uma proposição (ainda falta saber se é verdadeira ou falsa).

Passo 4

Para determinar o valor de verdade calculamos os dois lados da igualdade passo a passo. Começando pelo lado esquerdo:
3+1=4.
Substituindo:
5\cdot(3+1)=5\cdot4.
Agora multiplicamos:
5\cdot4=20.
Portanto o lado esquerdo vale 20.

Passo 5

Agora o lado direito, calculando termo a termo:
5\cdot3=15,
5\cdot1=5.
Somando os dois resultados:
15+5=20.
Portanto o lado direito também vale 20.

Passo 6

Comparamos os resultados: lado esquerdo =20 e lado direito =20. Como os dois lados são iguais, a igualdade é verdadeira. Uma observação didática extra (útil para a prova): isso é um caso concreto da propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição, que diz, para números quaisquer a,b,c,
a(b+c)=ab+ac,
onde a,b,c representam números; no nosso caso a=5, b=3, c=1. Um exemplo adicional rápido para fixar: \;2(4+3)=2\cdot4+2\cdot3\; 2\cdot7=8+6, ou seja 14=14.

Resposta

A sentença é uma proposição; valor lógico: verdadeira.

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