Decida se a matriz dada é diagonal, simétrica, trinagular superior ou inferior.
Passo 1
O enunciado pede para identificar se a matriz
A = 4 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 5
é diagonal, simétrica, triangular superior ou triangular inferior. Vamos usar as definições:
– Matriz diagonal: todos os elementos fora da diagonal principal são zero.
– Matriz simétrica: A = A^T.
– Matriz triangular superior: todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.
– Matriz triangular inferior: todos os elementos acima da diagonal principal são zero.
Passo 2
Verificamos se A é diagonal.
Os elementos fora da diagonal principal são ;A12=0,;A13=0,;A21=0,;A23=0,;A31=0,;A32=0.
Todos são zero, logo
A é diagonal é
Passo 3
Como toda matriz diagonal satisfaz Aij=0 para ineq j, ela coincide com sua transposta A^T. Portanto
A = A^T Longrightarrow A é simétrica éé
Passo 4
Para triangular superior precisamos de Aij=0 sempre que i>j. Aqui os elementos abaixo da diagonal são A21,A31,A32, todos iguais a zero. Logo
A é triangular superior é
Passo 5
Para triangular inferior precisamos de Aij=0 sempre que i<j. Aqui os elementos acima da diagonal são A12,A13,A23, todos iguais a zero. Logo
A é triangular inferior é
Resposta
A matriz é diagonal. Consequentemente, ela também é simétrica, triangular superior e triangular inferior.