Decida se as matrizes abaixo estão na forma escalonada. Utilize as operações elementares sobre linhas e colunas para escalonar as que não estiverem nessa forma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se uma matriz está na forma escalonada. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre estruturas de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que é a forma escalonada e como usar operações elementares de linhas e colunas para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma forma escalonada de uma matriz. Uma matriz está em forma escalonada se:
- Todas as linhas de zeros estão na parte de baixo da matriz.
- O primeiro número diferente de zero em cada linha (chamado de pivô) está mais à direita do que o pivô da linha acima.
- Todos os elementos abaixo de um pivô são zeros.
Nossa matriz é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a matriz A já atende a esses critérios.
- Linhas de zeros na parte de baixo: A primeira linha é toda zero, e a segunda linha tem um número diferente de zero. Isso viola a primeira regra porque as linhas de zeros devem estar embaixo, não em cima.
- Pivôs mais à direita nas linhas de baixo: Como a primeira linha é zero, não tem pivô, então essa regra não é totalmente aplicável aqui.
- Elementos abaixo dos pivôs são zeros: Na segunda linha, o pivô é 1, e não há linhas abaixo dela, então está tudo certo nesse ponto.
Então, o problema principal é que a linha de zeros está acima da linha com o pivô. Isso significa que a matriz não está na forma escalonada.
Passo 4
Para colocar a matriz na forma escalonada, vamos usar uma operação elementar, que nesse caso é trocar as linhas. Ou seja, vamos colocar a linha de zeros embaixo.
Troca das linhas 1 e 2:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a nova matriz está na forma escalonada:
- Linhas de zeros na parte de baixo: A única linha de zeros está embaixo, perfeito!
- Pivôs mais à direita nas linhas de baixo: A primeira linha tem um pivô na segunda coluna, e não há mais linhas com pivôs, então está OK.
- Elementos abaixo dos pivôs são zeros: Não há elementos abaixo do pivô, então tudo certo.
Resposta
Depois de trocar as linhas, a matriz está na forma escalonada: