Sejam e considere o sistema linear nas incógnitas x1, x2, x3. Assinale a alternativa que contém as condições exatas sobre a e b que tornam esse sistema impossível.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
x1+x2+x3=1, 2x1+a,x2-x3=2a, 3x1+2x2+b,x3=0
com parâmetros a,binR, e pede para achar as condições sobre a e b que tornam o sistema impossível (sem solução). Para isso usamos a teoria de sistemas lineares: o sistema é impossível exatamente quando a matriz dos coeficientes fica singular (determinante zero) e a matriz aumentada tem posto maior que o posto da matriz dos coeficientes.
Para o sistema não ter solução ou ter infinitas soluções precisamos de det(A)=0. Assim
ab -2b -3a +3 =0 Long<=ftrightarrow b,(a-2)=3(a-1)
Como se vê, para aneq2 temos
b=3(a-1),a-2,
Se a=2, então det(A)=-3neq0 e o sistema tem solução única, logo não é impossível.
Passo 3
Agora, entre os casos em que det(A)=0, alguns dão infinitas soluções e outros dão inconsistência. Quando det(A)=0 (ou seja b=3(a-1)/(a-2) com aneq2), as três equações tornam-se linearmente dependentes em relação aos coeficientes. Para haver inconsistência, o termo independente da terceira equação não pode satisfazer a mesma combinação linear das duas primeiras.
Determinamos a combinação
p,(1,1,1)+q,(2,a,-1)=(3,2,b),
que leva a
q=-1a-2, p=3+2a-2,
e daí vê-se que o termo independente da terceira equação deveria ser
pcdot1 + qcdot(2a) =a-4,a-2,
Para consistência isso teria de dar zero, ou seja a-4=0. Logo se a=4 e b=3(4-1)/(4-2)=9/2 o sistema tem infinitas soluções; em todos os outros casos singulares (aneq2 e b=3(a-1)/(a-2) mas aneq4) o sistema é impossível.
Passo 4
Portanto, o sistema é impossível se, e somente se,