Sejam a, b in R e considere o sistema linear lx1+x2+x3=1 2 x1+a x2-x3=2 a 3 x1+2 x2+b x3=0 nas incógnitas x1, x2, x3. Assinale a alternativa que contém as condições exatas sobre a e b que tornam esse sistema impossível.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x1+x2+x3=1, 2x1+a,x2-x3=2a, 3x1+2x2+b,x3=0
com parâmetros a,binR, e pede para achar as condições sobre a e b que tornam o sistema impossível (sem solução). Para isso usamos a teoria de sistemas lineares: o sistema é impossível exatamente quando a matriz dos coeficientes fica singular (determinante zero) e a matriz aumentada tem posto maior que o posto da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 2 & a & -1 3 & 2 & b
e calculamos seu determinante:
det(A) =1cdotl(a,b -(-1)cdot2r) -1cdotl(2,b-(-1)cdot3r) +1cdotl(2cdot2 - acdot3r)
=ab+2 - (2b+3) + (4-3a) =ab -2b -3a +3
Para o sistema não ter solução ou ter infinitas soluções precisamos de det(A)=0. Assim
ab -2b -3a +3 =0 Long<=ftrightarrow b,(a-2)=3(a-1)
Como se vê, para aneq2 temos
b=3(a-1),a-2,
Se a=2, então det(A)=-3neq0 e o sistema tem solução única, logo não é impossível.

Passo 3

Agora, entre os casos em que det(A)=0, alguns dão infinitas soluções e outros dão inconsistência. Quando det(A)=0 (ou seja b=3(a-1)/(a-2) com aneq2), as três equações tornam-se linearmente dependentes em relação aos coeficientes. Para haver inconsistência, o termo independente da terceira equação não pode satisfazer a mesma combinação linear das duas primeiras.
Determinamos a combinação
p,(1,1,1)+q,(2,a,-1)=(3,2,b),
que leva a
q=-1a-2, p=3+2a-2,
e daí vê-se que o termo independente da terceira equação deveria ser
pcdot1 + qcdot(2a) =a-4,a-2,
Para consistência isso teria de dar zero, ou seja a-4=0. Logo se a=4 e b=3(4-1)/(4-2)=9/2 o sistema tem infinitas soluções; em todos os outros casos singulares ( aneq2 e b=3(a-1)/(a-2) mas aneq4) o sistema é impossível.

Passo 4

Portanto, o sistema é impossível se, e somente se,
aneq2, aneq4, e b=3(a-1),a-2,

Resposta

O sistema é impossível exatamente para
aneq2, aneq4, b=3(a-1),a-2,

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