Usando operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada de cada um dos sistemas lineares abaixo, determine os valores de a e b para os quais sistema não tem solução, tem exatamente uma solução e tem infinitas soluções.
(i) lx+y-a z=0 x+2 y-2 z=1 x+(1-a) y-2 z=2-2 a 2 x+3 y-(2+a) z=1

Passo 1

O sistema é
Vamos montar a matriz aumentada e usar eliminação de Gauss para encontrar condições em que gerem inconsistência, liberdade de parâmetro ou solução única.

Passo 2

Matriz aumentada inicial:
[ccc|c 1 & 1 & -a & 0 [6pt] 1 & 2 & -2 & 1 [6pt] 1 & 1 - a & -2 & 2 - 2a [6pt] 2 & 3 & -(2 + a) & 1 ]
Fazendo
R2 R2 - R1,
R3 R3 - R1,
R4 R4 - 2,R1,
obtemos
[ccc|c 1 & 1 & -a & 0 [6pt] 0 & 1 & a-2 & 1 [6pt] 0 & -a & a-2 & 2-2a [6pt] 0 & 1 & a-2 & 1 ] ]

Passo 3

Agora eliminamos abaixo de R2:
R3 R3 + a,R2 e
R4 R4 - R2.
Isso dá
[ccc|c 1 & 1 & -a & 0 [6pt] 0 & 1 & a-2 & 1 [6pt] 0 & 0 & (a+1)(a-2) & 2 - a [6pt] 0 & 0 & 0 & 0 ]
O pivô na terceira linha é (a+1)(a-2).]

Passo 4

  • Se (a+1)(a-2)neq0 (ou seja, aneq -1 e aneq2), temos três pivôs em x,y,z e solução única.
  • Se a=2, então o pivô da terceira linha é zero e também o termo independente 2-a=0, restam dois pivôs e z livre Rightarrow infinitas soluções.
  • Se a=-1, o pivô da terceira linha é zero mas o termo independente é 2-(-1)=3neq0, vem 0=3 Rightarrow sistema impossível.

Resposta

Sistema sem solução se a=-1.
Sistema com infinitas soluções se a=2.
Sistema com solução única se aneq -1 e aneq2.

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