Usando operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada de cada um dos sistemas lineares abaixo, determine os valores de a e b para os quais sistema não tem solução, tem exatamente uma solução e tem infinitas soluções.
(ii) lx+y+a z=a+b+1 2 x+3 y+a z=3 a+2 b+1 x+y+2 a z=2 b+2

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o sistema
x+y+a,z = a + b + 1, 2x+3y+a,z = 3a + 2b + 1, x+y+2a,z = 2b + 2,
com parâmetros a,b. Vamos usar eliminação de Gauss na matriz aumentada para discutir soluções em função de a e b.

Passo 2

Escrevendo as linhas como vetores aumentados:
R1=(1,;1,;amid a+b+1),
R2=(2,;3,;amid 3a+2b+1),
R3=(1,;1,;2amid 2b+2).
Aplicamos
R2to R2-2,R1
e
R3to R3-R1.

Passo 3

Após essas operações obtemos as linhas:
R1=(1,;1,;amid a+b+1),
R2=(0,;1,;-amid a-1),
R3=(0,;0,;amid b+1 - a).

Passo 4

Se aneq0, então em R3 temos a,z = b+1 - a, ou seja
z = b+1 - aa,
e a eliminação fornece pivôs em todas as colunas de incógnitas. Logo há exatamente uma solução para todo par l(aneq0,;binRr).

Passo 5

Se a=0, então R3 fica 0= b+1 e R2 y=-1.
  • Se bneq -1, a linha R3 é 0=não,zeroã, logo o sistema é inconsistente (sem solução).
  • Se b=-1, a linha R3 é 0=0 e restam duas equações para três incógnitas, determinando x=1 e y=-1 mas deixando z livre. Logo há infinitas soluções quando l(a=0,;b=-1r).

Resposta

Para ;aneq0 o sistema tem exatamente uma solução.
Para ;a=0 e bneq -1 o sistema não tem solução.
Para ;a=0 e b=-1 o sistema tem infinitas soluções.

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