Usando operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada de cada um dos sistemas lineares abaixo, determine os valores de e para os quais sistema não tem solução, tem exatamente uma solução e tem infinitas soluções.
(ii)
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o sistema
x+y+a,z = a + b + 1, 2x+3y+a,z = 3a + 2b + 1, x+y+2a,z = 2b + 2,
com parâmetros a,b. Vamos usar eliminação de Gauss na matriz aumentada para discutir soluções em função de a e b.
Passo 2
Escrevendo as linhas como vetores aumentados: R1=(1,;1,;amid a+b+1), R2=(2,;3,;amid 3a+2b+1), R3=(1,;1,;2amid 2b+2).
Aplicamos R2to R2-2,R1
e R3to R3-R1.
Passo 3
Após essas operações obtemos as linhas: R1=(1,;1,;amid a+b+1), R2=(0,;1,;-amid a-1), R3=(0,;0,;amid b+1 - a).
Passo 4
Se aneq0, então em R3 temos a,z = b+1 - a, ou seja
z = b+1 - aa,
e a eliminação fornece pivôs em todas as colunas de incógnitas. Logo há exatamente uma solução para todo par l(aneq0,;binRr).
Passo 5
Se a=0, então R3 fica 0= b+1 e R2 dá y=-1.
Se bneq -1, a linha R3 é 0=não,zeroã, logo o sistema é inconsistente (sem solução).
Se b=-1, a linha R3 é 0=0 e restam duas equações para três incógnitas, determinando x=1 e y=-1 mas deixando z livre. Logo há infinitas soluções quando l(a=0,;b=-1r).
Resposta
Para ;aneq0 o sistema tem exatamente uma solução.
Para ;a=0 e bneq -1 o sistema não tem solução.
Para ;a=0 e b=-1 o sistema tem infinitas soluções.