Decida se as matrizes dadas têm o mesmo espaçõ linha.
A=(ccc 1 & -2 & -1 3 & -4 & 5 ), B=(ccc 1 & -1 & 2 2 & 3 & -1 ), C=(ccc 1 & -1 & 3 2 & -1 & 10 3 & -5 & 1 )

Passo 1

O enunciado dá três matrizes em R^mtimes3:
A= 1 & -2 & -1 3 & -4 & 5 , B= 1 & -1 & 2 2 & 3 & -1 , C= 1 & -1 & 3 2 & -1 & 10 3 & -5 & 1
Queremos decidir se elas têm o mesmo espaço linha, isto é, se os planos (ou subespaços) gerados pelas linhas de cada matriz em R^3 coincidem. Para isso vamos:
  1. Verificar a dimensão do espaço linha (rank) de cada matriz.
  2. Encontrar um vetor normal a cada espaço linha usando o produto vetorial das duas linhas independentes.
  3. Comparar esses vetores normais: espaços linha iguais têm o mesmo normal (até escalar).

Passo 2

Espaço linha de A. As linhas são
r1^A=(1,,-2,,-1) e r2^A=(3,,-4,,5). Como não são múltiplos uma da outra, o rank é 2 e o espaço linha é um plano. Um vetor normal é
nA = r1^Atimes r2^A = i & j & k 1 & -2 & -1 3 & -4 & 5 =(-14,,-8,,2)
Podemos simplificar para
nA =(-7,,-4,,1)

Passo 3

Espaço linha de B. As linhas são
r1^B=(1,,-1,,2) e r2^B=(2,,3,,-1). Também têm rank 2. O normal é
nB = r1^Btimes r2^B = i & j & k 1 & -1 & 2 2 & 3 & -1 =(-5,,5,,5),
que simplifica para
nB =(-1,,1,,1).

Passo 4

Espaço linha de C. As três linhas são
r1^C=(1,,-1,,3), r2^C=(2,,-1,,10),
r3^C=(3,,-5,,1). Observa-se a dependência
r3^C = 7,r1^C - 2,r2^C,
logo o rank é 2 e basta cruzar r1^C e r2^C:
nC = r1^Ctimes r2^C = i & j & k 1 & -1 & 3 2 & -1 & 10 =(-7,,-4,,1)

Passo 5

Comparando os vetores normais:
nA =(-7,,-4,,1), nC =(-7,,-4,,1), nB =(-1,,1,,1)
Como nA e nC coincidem (até escalar) o espaço linha de A e de C é o mesmo plano. O normal de B é diferente, logo o espaço linha de B é outro plano em R^3.

Resposta

As matrizes A e C têm o mesmo espaço linha. A matriz B tem espaço linha distinto.

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