Queremos decidir se elas têm o mesmo espaço linha, isto é, se os planos (ou subespaços) gerados pelas linhas de cada matriz em R^3 coincidem. Para isso vamos:
Verificar a dimensão do espaço linha (rank) de cada matriz.
Encontrar um vetor normal a cada espaço linha usando o produto vetorial das duas linhas independentes.
Comparar esses vetores normais: espaços linha iguais têm o mesmo normal (até escalar).
Passo 2
Espaço linha de A. As linhas são r1^A=(1,,-2,,-1) e r2^A=(3,,-4,,5). Como não são múltiplos uma da outra, o rank é 2 e o espaço linha é um plano. Um vetor normal é
nA = r1^Atimes r2^A = i & j & k 1 & -2 & -1 3 & -4 & 5 =(-14,,-8,,2)
Podemos simplificar para
nA =(-7,,-4,,1)
Passo 3
Espaço linha de B. As linhas são r1^B=(1,,-1,,2) e r2^B=(2,,3,,-1). Também têm rank 2. O normal é
nB = r1^Btimes r2^B = i & j & k 1 & -1 & 2 2 & 3 & -1 =(-5,,5,,5),
que simplifica para nB =(-1,,1,,1).
Passo 4
Espaço linha de C. As três linhas são r1^C=(1,,-1,,3), r2^C=(2,,-1,,10), r3^C=(3,,-5,,1). Observa-se a dependência
Como nA e nC coincidem (até escalar) o espaço linha de A e de C é o mesmo plano. O normal de B é diferente, logo o espaço linha de B é outro plano em R^3.
Resposta
As matrizes A e C têm o mesmo espaço linha. A matriz B tem espaço linha distinto.