Determine para quais valores do parâmotero real h o vetor v=(2,2,2) pertence ao espaço S=Spanu1, u2, u3 onde
u1=(2,1, h), u2=(h+1,1,2), u3=(1+h, h, 2)

Passo 1

O enunciado pede os valores de tais que o vetor possa ser escrito como combinação linear de \r
, e . \r
Isso envolve montar um sistema linear para os coeficientes dessa combinação e usar conceitos de determinante e compatibilidade de sistemas em álgebra linear.

Passo 2

Para ter \r
a,u1 + b,u2 + c,u3 = v \r
devem existir a,b,c satisfazendo\r
2a + (h+1)b + (h+1)c = 2, a + b + h c = 2, h a + 2b + 2c = 2

Passo 3

A matriz dos coeficientes é\r
A= 2 & h+1 & h+1 1 & 1 & h h & 2 & 2 , \r
cujo determinante é\r
det A = h^3 - 5h + 4

Passo 4

Se , a matriz é invertível e o sistema é compatível determinado, logo existe única solução e . \r
Portanto, para todo tal que \r
\r
temos .

Passo 5

Se det A = 0, os vetores ficam linearmente dependentes e pode faltar solução. As raízes de \r
,h^3-5h+4=0 são\r
h=1, h=-1+raiz172, h=-1-raiz172 \r
Para esses valores de h, ao substituir em qualquer das equações vê–se que o sistema se torna incompatível (por exemplo, em h=1 a primeira equação vira 4=2), e o mesmo ocorre nas outras duas raízes. Logo, nesses casos vnotin S.

Resposta

O vetor pertence a exatamente para\r
\r
ou seja para todos os exceto \r

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