Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de
(com justificativa de cada resposta):
todos os vetores da forma
, com
todos os vetores da forma
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
e pede para verificar se
é subespaço de
.
Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
- O vetor zero pertence a
. -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero
. Como
, temos
. Logo,
não está vazio e contém o vetor zero.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
Pela definição de
,
e
. Então
e
Portanto
também satisfaz a relação da forma
, ou seja,
.
Passo 4
Fechamento sob escalar: seja
e
Multiplicando por
,
Como
, segue que
também está em
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço de
.
Resposta
O conjunto
é subespaço de
.