Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de R^3 (com justificativa de cada resposta):
todos os vetores da forma ( a ; b ; c), com
c=a+b

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = (a,b,c)in R^3 mid c = a + b,
e pede para verificar se S é subespaço de R^3.
Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
  1. O vetor zero pertence a S.
  2. S é fechado sob soma de vetores.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero (0,0,0). Como 0 = 0 + 0, temos (0,0,0)in S. Logo, S não está vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
u = (a1,b1,c1)in S, v=(a2,b2,c2)in S
Pela definição de S, c1 = a1 + b1 e c2 = a2 + b2. Então
u+v = (a1+a2,; b1+b2,; c1+c2)
e
c1 + c2 = (a1 + b1) + (a2 + b2) = (a1+a2) + (b1+b2)
Portanto u+v também satisfaz a relação da forma c = a+b, ou seja, u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja lambdainR e
u=(a,b,c)in S, c=a+b
Multiplicando por lambda,
lambda u = (lambda a,;lambda b,;lambda c)
Como lambda c = lambda(a+b) = (lambda a) + (lambda b), segue que lambda u também está em S.

Passo 5

Como S contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que S é subespaço de R^3.

Resposta

O conjunto S = (a,b,c)inR^3mid c=a+b é subespaço de R^3.

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