Mostre que as funções f, g e h em C1(R) dadas são linearmente indepnedentes.
f(t)=e^t, g(t)=sen t e h(t)=t^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
f(t)=e^t, g(t)=sin t, h(t)=t^2
são linearmente independentes em C1(R).
Ou seja, precisamos provar que se existem escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha cdot f(t) + beta cdot g(t) + gamma cdot h(t) = 0
para todo t in R, então alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Suponha que
alpha e^t + beta sin t + gamma t^2 = 0
para todo tinR. Vamos determinar alpha,beta,gamma mostrando que cada um deve ser zero.

Passo 3

Avalie a relação acima em t=0. Como e^0=1, sin0=0 e 0^2=0, obtemos
alphacdot1 + betacdot0 + gammacdot0 = 0 Longrightarrow alpha = 0

Passo 4

Com alpha=0, a identidade fica
beta sin t + gamma t^2 = 0
Agora avalie em t=pi. Como sinpi=0 e pi^2>0, segue
betacdot0 + gamma,pi^2 = 0 Longrightarrow gamma = 0

Passo 5

Restou betasin t=0 para todo t. Escolhendo t=tfracpi2, onde sin(tfracpi2)=1, vem
betacdot1 = 0 Longrightarrow beta = 0

Resposta

As únicas soluções são alpha=beta=gamma=0, logo f,g,h são linearmente independentes.

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