Encontre um vetor de R^3 que gere a interseção de U e W, sendo U= (a, b, 0) (isto é o plano x y ), e W=Span(1,1,1),(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede a interseção em , onde
é o plano (isto é, ) e
é um plano passando pela origem.
Para achar devemos achar todos os vetores de que também têm terceira coordenada zero.

Passo 2

Um vetor genérico de W pode ser escrito como combinação linear dos geradores:
(x,y,z);=;s,(1,1,1);+;t,(1,2,3) ;=;(s+t,;s+2t,;s+3t)
Como queremos esse vetor em U, impomos z=0:
s+3t=0

Passo 3

Da equação s+3t=0 segue s=-3t. Substituindo em (x,y,z) obtemos
(x,y,z) =(,-3t+t,,-3t+2t,;0) =(-2t,,-t,;0) = t,(-2,,-1,;0)
Isso mostra que todo vetor em Ucap W é múltiplo de (-2,-1,0).

Resposta

Um vetor que gera Ucap W é
(-2,-1,0)

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