Decida se o operador , dado por sua matriz , é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores. ,
Passo 1
O enunciado nos dá um operador T:R^2toR^2 cuja matriz na base B é
[T]B = -3 & 4 -1 & 2
Precisamos decidir se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, apresentar uma forma diagonal para [T]B. Vamos calcular os autovalores a partir do polinômio característico e usar o fato de que autovalores distintos implicam diagonalização.
Como os autovalores 1 e -2 são distintos, a multiplicidade geométrica de cada um é igual a 1, isto é, igual à multiplicidade algébrica. Portanto, A é diagonalizável em R^2.
Passo 5
Em consequência, existe uma matriz invertível P tal que
P^-1AP = 1 & 0 0 & -2
Resposta
T é diagonalizável e, na base de autovetores, sua matriz diagonal é