Decida se o operador T: R^n longrightarrow R^n, dado por sua matriz [T]B, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores.
n=2,
[T]B=[ll -3 & 4 -1 & 2 ]

Passo 1

O enunciado nos dá um operador T:R^2toR^2 cuja matriz na base B é
[T]B = -3 & 4 -1 & 2
Precisamos decidir se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, apresentar uma forma diagonal para [T]B. Vamos calcular os autovalores a partir do polinômio característico e usar o fato de que autovalores distintos implicam diagonalização.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de
A = [T]B = -3 & 4 -1 & 2
Temos
chiA(lambda) =detl(A - lambda Ir) =det -3-lambda & 4 -1 & 2-lambda =(-3-lambda)(2-lambda)-(-1)cdot4

Passo 3

Expandindo e simplificando,
(-3-lambda)(2-lambda)+4 =(-3cdot2 +3lambda -2lambda +lambda^2)+4 =lambda^2+lambda-6+4 =lambda^2+lambda-2
Logo,
chiA(lambda)=lambda^2+lambda-2=(lambda-1)(lambda+2)
Os autovalores são lambda1=1 e lambda2=-2.

Passo 4

Como os autovalores 1 e -2 são distintos, a multiplicidade geométrica de cada um é igual a 1, isto é, igual à multiplicidade algébrica. Portanto, A é diagonalizável em R^2.

Passo 5

Em consequência, existe uma matriz invertível P tal que
P^-1AP = 1 & 0 0 & -2

Resposta

T é diagonalizável e, na base de autovetores, sua matriz diagonal é
1 & 0 0 & -2

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