Decida se o operador T: R^n longrightarrow R^n, dado por sua matriz [T]B, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores.
n=2,
[T]B=[ll 1 & 1 1 & 1 ]

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear Tcolon R^2 to mathbbR^2𝕞𝕒𝕥𝕙𝕓𝕓 cuja matriz na base B é
[T]B = 1 & 1 1 & 1
O conteúdo aqui é diagonalização de operadores, ou seja, achar autovalores e verificar se há autovetores suficientes para formar uma base.

Passo 2

Para encontrar os autovalores calculamos o polinômio característico:
detl([T]B - lambda Ir) = det 1-lambda & 1 1 & 1-lambda = (1-lambda)^2 - 1 = lambda^2 - 2lambda
As raízes são lambda1=0 e lambda2=2.

Passo 3

Os autovalores são distintos, cada um de multiplicidade algébrica 1. Isso garante existência de dois autovetores linearmente independentes, ou seja, a soma das multiplicidades geométrica e algébrica coincide com a dimensão do espaço. Logo, T é diagonalizável.

Passo 4

Em uma base de autovetores associada a lambda2=2 e lambda1=0, a matriz de T fica diagonal, com entradas exatamente esses autovalores. Uma forma diagonal conveniente é
D = 2 & 0 0 & 0

Resposta

O operador T é diagonalizável, e uma forma diagonal possível é
2 & 0 0 & 0

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