Decida se o operador , dado por sua matriz , é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores. ,
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear Tcolon R^2 to mathbbR^2𝕞𝕒𝕥𝕙𝕓𝕓 cuja matriz na base B é
[T]B = 1 & 1 1 & 1
O conteúdo aqui é diagonalização de operadores, ou seja, achar autovalores e verificar se há autovetores suficientes para formar uma base.
Passo 2
Para encontrar os autovalores calculamos o polinômio característico:
Os autovalores são distintos, cada um de multiplicidade algébrica 1. Isso garante existência de dois autovetores linearmente independentes, ou seja, a soma das multiplicidades geométrica e algébrica coincide com a dimensão do espaço. Logo, T é diagonalizável.
Passo 4
Em uma base de autovetores associada a lambda2=2 e lambda1=0, a matriz de T fica diagonal, com entradas exatamente esses autovalores. Uma forma diagonal conveniente é
D = 2 & 0 0 & 0
Resposta
O operador T é diagonalizável, e uma forma diagonal possível é