Decida se o operador T: R^n longrightarrow R^n, dado por sua matriz [T]B, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores.
n=2,
[T]B=[cc 1 & 2 0 & -1 ]

Passo 1

O enunciado define um operador Tcolon R^2toR^2 cuja matriz na base B é
[T]B = 1 & 2 0 & -1
Queremos decidir se T é diagonalizável e, em caso positivo, apresentar uma forma diagonal. Para isso vamos usar o polinômio característico e a teoria de valores próprios, lembrando que, quando uma matriz de ordem 2 tem dois valores próprios distintos, ela é automaticamente diagonalizável.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de [T]B:
chiT(lambda)=detl([T]B-lambda Ir) =det!1-lambda & 2[6pt]0 & -1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda) =lambda^2-1
Logo os valores próprios são as raízes de chiT(lambda)=0:
lambda^2-1=0 Longrightarrow lambda=1,;-1 ]

Passo 3

Cada valor próprio lambda=1 e lambda=-1 é simples (multiplicidade algébrica 1) e, portanto, tem dimensão de autespaço igual a 1. Como são dois valores próprios distintos em R^2, o espaço de dimensão 2 se decompõe em soma direta dos dois autespaços, garantindo que existe base de autovetores. Assim T é diagonalizável.

Passo 4

A forma diagonal corresponde a colocar os valores próprios na diagonal, isto é, existe matriz de passagem P tal que
P^-1[T]BP =1&00&-1

Resposta

T é diagonalizável e uma forma diagonal é
1&00&-1

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