Decida se o operador , dado por sua matriz , é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores. ,
Passo 1
O enunciado define um operador Tcolon R^2toR^2 cuja matriz na base B é
[T]B = 1 & 2 0 & -1
Queremos decidir se T é diagonalizável e, em caso positivo, apresentar uma forma diagonal. Para isso vamos usar o polinômio característico e a teoria de valores próprios, lembrando que, quando uma matriz de ordem 2 tem dois valores próprios distintos, ela é automaticamente diagonalizável.
Logo os valores próprios são as raízes de chiT(lambda)=0:
lambda^2-1=0 Longrightarrow lambda=1,;-1 ]
Passo 3
Cada valor próprio lambda=1 e lambda=-1 é simples (multiplicidade algébrica 1) e, portanto, tem dimensão de autespaço igual a 1. Como são dois valores próprios distintos em R^2, o espaço de dimensão 2 se decompõe em soma direta dos dois autespaços, garantindo que existe base de autovetores. Assim T é diagonalizável.
Passo 4
A forma diagonal corresponde a colocar os valores próprios na diagonal, isto é, existe matriz de passagem P tal que