Seja
um operador linear onde
é um espaço vetorial sobre
de dimensão finita e sejam
, todos os autovalores de
dois a dois distintos. Então,
é diagonalizável se, e somente se,
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear
num espaço vetorial
de dimensão finita cujos autovalores são
, todos distintos. Queremos mostrar que
onde
é o espaço próprio (autovetores) associado a
. Para isso, usaremos:
- A definição de operador diagonalizável (existe base de
formada por autovetores). - O fato de que autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes.
Passo 2
Suponha que
seja diagonalizável. Então existe uma base de
formada por
autovetores de
. Agrupando esses autovetores pelos seus autovalores, obtemos para cada
exatamente
vetores na base com valor próprio
. Como a base tem
vetores, segue-se que
Passo 3
Agora suponha que
Como os autovalores
são distintos, vetores próprios associados a valores diferentes são linearmente independentes. Logo, a soma direta
tem dimensão igual à soma das dimensões de cada espaço. Pelo hipótese de igualdade de dimensões, essa soma direta é todo o
. Ou seja,
o que significa que a união de bases dos
forma uma base de
inteira de autovetores de
.
Passo 4
Como encontramos uma base de
formada só por autovetores de
, concluímos que
é diagonalizável. Isso fecha a demonstração da equivalência desejada.