Seja T: V V um operador linear onde V é um espaço vetorial sobre K de dimensão finita e sejam lambda1, lambda2, cdots, lambdam, m <= 1, todos os autovalores de T dois a dois distintos. Então, T é diagonalizável se, e somente se,
dim V=sumi=1^m dimAlim (lambdai)

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear Tcolon Vto V num espaço vetorial V de dimensão finita cujos autovalores são lambda1,lambda2,dots,lambdam, todos distintos. Queremos mostrar que
T é diagonalizável Long<=ftrightarrow dim V ;=;sumi=1^mdim Alim(lambdai), éá
onde Alim(lambdai) é o espaço próprio (autovetores) associado a lambdai. Para isso, usaremos:
  1. A definição de operador diagonalizável (existe base de V formada por autovetores).
  2. O fato de que autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes.

Passo 2

Suponha que T seja diagonalizável. Então existe uma base de V formada por n=dim V autovetores de T. Agrupando esses autovetores pelos seus autovalores, obtemos para cada lambdai exatamente
dim Alim(lambdai)
vetores na base com valor próprio lambdai. Como a base tem n vetores, segue-se que
dim V ;=;n ;=;sumi=1^mdim Alim(lambdai)

Passo 3

Agora suponha que
dim V ;=;sumi=1^mdim Alim(lambdai)
Como os autovalores lambdai são distintos, vetores próprios associados a valores diferentes são linearmente independentes. Logo, a soma direta
Alim(lambda1)oplus Alim(lambda2)opluscdotsoplus Alim(lambdam)
tem dimensão igual à soma das dimensões de cada espaço. Pelo hipótese de igualdade de dimensões, essa soma direta é todo o V. Ou seja,
V ;=;oplusi=1^mAlim(lambdai),
o que significa que a união de bases dos Alim(lambdai) forma uma base de V inteira de autovetores de T.

Passo 4

Como encontramos uma base de V formada só por autovetores de T, concluímos que T é diagonalizável. Isso fecha a demonstração da equivalência desejada.

Resposta

T é diagonalizável se, e somente se,
dim V ;=;sumi=1^mdim Alim(lambdai)

Exercícios relacionados