Seja T: V V um operador linear, onde V é um K-espaço vetorial de dimensão n. Suponha ainda que pT(x)=(x-lambda1)^n1 cdots(x-lambdam)^nm. Então,
dim V=sumi=1^m dimAutT(lambdai)
se, e somente se, m a(lambdai)=m g(lambdai), para todo i=1,2, cdots, m.

Passo 1

O enunciado considera um operador linear T:Vto V em um espaço vetorial V de dimensão n sobre K. O polinômio característico de T é
pT(x)=prodi=1^m(x-lambdai)^ni,
onde ni= multiplicidade algébrica de lambdai. Denotamos por
AutT(lambdai)=ker(T-lambdai I)
o autovalor-espaço em lambdai, cuja dimensão é a multiplicidade geométrica mg(lambdai). Precisamos mostrar que
dim V ;=;sumi=1^m dimAutT(lambdai) Long<=ftrightarrow ma(lambdai)=mg(lambdai);;forall i

Passo 2

Suponha primeiro que ma(lambdai)=mg(lambdai) para todo i. Então
dimAutT(lambdai)=mg(lambdai)=ma(lambdai)=ni.
Logo
sumi=1^m dimAutT(lambdai) =sumi=1^m ni =deg pT =n =dim V,
já que deg pT=sumi ni é igual à dimensão de V.

Passo 3

Agora suponha
dim V = sumi=1^m dimAutT(lambdai).
Sabemos sempre que para cada i
dimAutT(lambdai)=mg(lambdai) e mg(lambdai)<= ma(lambdai)=ni
Somando em i, obtemos
sumi=1^m mg(lambdai) ;<=; sumi=1^m ma(lambdai) =sumi=1^m ni =n
Mas a hipótese diz que sumi mg(lambdai)=dim V=n. Portanto a desigualdade torna-se igualdade em cada termo, forçando
mg(lambdai)=ma(lambdai) para todo (i)

Resposta

A igualdade dim V=sumi=1^mdimAutT(lambdai) ocorre se, e somente se, para todo i tivermos
ma(lambdai)=mg(lambdai)

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