Seja
um operador linear, onde
é um
-espaço vetorial de dimensão
. Suponha ainda que
. Então,
se, e somente se,
, para todo
.
Passo 1
O enunciado considera um operador linear
em um espaço vetorial
de dimensão
sobre
. O polinômio característico de
é
onde
multiplicidade algébrica de
. Denotamos por
o autovalor-espaço em , cuja dimensão é a multiplicidade geométrica
. Precisamos mostrar que
o autovalor-espaço em
Passo 2
Suponha primeiro que
para todo
. Então
.
Logo
Logo
já que
é igual à dimensão de
.
Passo 3
Agora suponha
.
Sabemos sempre que para cada
Sabemos sempre que para cada
Somando em
, obtemos
Mas a hipótese diz que
. Portanto a desigualdade torna-se igualdade em cada termo, forçando
Resposta
A igualdade
ocorre se, e somente se, para todo
tivermos