Decida se o operador T: R^n longrightarrow R^n, dado por sua matriz [T]B, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores.
n=2,
[T]B=[cc raiz3 & -1 1 & raiz3 ]

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o operador linear T:R^2toR^2, cuja matriz na base B é
[T]B = raiz3 & -1 1 & raiz3 ,
é diagonalizável. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes reais: calculamos o polinômio característico, depois os autovalores e vemos se eles permitem uma forma diagonal.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de [T]B. Temos
detl([T]B - lambda Ir) = det raiz3-lambda & -1 1 & raiz3-lambda = (raiz3-lambda)^2 + 1
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p(lambda) = lambda^2 - 2raiz3,lambda + (3 + 1) = lambda^2 - 2raiz3,lambda + 4

Passo 3

Para verificar se há autovalores reais, calculamos o discriminante de p(lambda):
De<a = ( -2raiz3 )^2 - 4cdot 1 cdot 4 = 12 - 16 = -4
Como De<a<0, não existem raízes reais.

Passo 4

Não há autovalores em R, portanto T não é diagonalizável como operador real em R^2. Se estendêssemos o escalar para C, os autovalores seriam
lambda1,2 = 2raiz3pm i,raiz42 = raiz3pm i,
que são distintos, garantindo diagonalização sobre C.

Passo 5

Em C^2, a forma diagonal correspondente seria
diagl(raiz3+i,;raiz3-ir)

Resposta

T não é diagonalizável sobre R.
Sobre C, é diagonalizável e a forma diagonal é
diagl(raiz3+i,;raiz3-ir)

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