Decida se o operador , dado por sua matriz , é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores. ,
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o operador linear T:R^3toR^3, cuja matriz na base B é
[T]B = 3 & -3 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 ,
é diagonalizável. Para isso, precisamos encontrar os autovalores (pela característica triangular) e comparar suas multiplicidades algébricas e geométricas.
Passo 2
Como a matriz é triangular, seus autovalores estão na diagonal. Logo:
Para lambda=3 calculamos o espaço próprio resolvendo (T-3I)x=0. A matriz T-3I vale
T-3I = 0 & -3 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4
As equações são
-3x2 -4x3 = 0, 5x3 = 0, -4x3 = 0
Dessas obtemos x3=0 e, em seguida, x2=0, ficando x1 livre. Portanto o espaço próprio de lambda=3 tem dimensão geométrica 1, menor que a multiplicidade algébrica 2.
Resposta
O operador Tnão é diagonalizável, pois para o autovalor lambda=3 a multiplicidade geométrica é 1<2.