Decida se o operador T: R^n longrightarrow R^n, dado por sua matriz [T]B, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores.
n=3,
[T]B=[lll 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o operador linear T:R^3toR^3, cuja matriz na base B é
[T]B = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 ,
é diagonalizável. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: precisamos comparar multiplicidades algébricas e geométricas dos autovalores.

Passo 2

Como a matriz é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal, todos iguais a 1. Logo o autovalor lambda=1 tem multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Para verificar a multiplicidade geométrica do autovalor lambda=1, calculamos a dimensão do núcleo de [T]B-I, onde
[T]B-I = 0 & 2 & 3 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0

Passo 4

O posto de [T]B-I é 2 (as duas primeiras linhas são linearmente independentes), logo a nulidade é
dimkerl([T]B-Ir) =3-2=1
Isso significa que a multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1, menor que a multiplicidade algébrica 3. Portanto não há base formada por três autovetores.

Resposta

O operador T não é diagonalizável.

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