Decida se o operador T: R^n longrightarrow R^n, dado por sua matriz [T]B, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores.
n=3,
[T]B=[ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 ]

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base B é
[T]B = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0
Queremos decidir se T é diagonalizável (sobre R) e, em caso afirmativo, achar uma forma diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de [T]B. Fazendo det([T]B-lambda I):
det -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 -1 & 0 & -lambda =-l(lambda^3+1r)
Logo o polinômio característico é
p(lambda)=lambda^3+1

Passo 3

As raízes de p(lambda)=0 são as soluções de lambda^3=-1, isto é
lambda1=-1, lambda2=e^ipi/3, lambda3=e^-ipi/3
Em R lambda1=-1 é real; o fator x^2-x+1 permanece irreduzível sobre R.

Passo 4

Para um operador real ser diagonalizável sobre R, seu polinômio mínimo deve se decompor em fatores lineares reais distintos. Aqui
lambda^3+1=(lambda+1)(lambda^2-lambda+1),
e lambda^2-lambda+1 não se fatora em R. Portanto T não é diagonalizável sobre R.

Passo 5

Se, em vez disso, trabalhássemos sobre C, o polinômio já se decompõe completamente em raízes simples. Assim T é diagonalizável em C^3 e sua forma diagonal seria
diagl(-1,;e^ipi/3,;e^-ipi/3r)

Resposta

O operador T não é diagonalizável em R^3.
Em C^3 ele é diagonalizável, com forma diagonal diag(-1,e^ipi/3,e^-ipi/3).

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