Decida se o operador T: R^n longrightarrow R^n, dado por sua matriz [T]B, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores.
n=4.
[T]B=[rrrr 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12 & 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o operador T:R^4toR^4, dado na base B pela matriz
[T]B = 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12 & 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 & 0 ,
é diagonalizável. Para isso, vamos calcular os autovalores, suas multiplicidades algébrica e geométrica, e verificar se para cada autovalor a multiplicidade geométrica atinge a algébrica.

Passo 2

Reordenando simultaneamente linhas e colunas segundo a permutação (1,2,3,4)mapsto(1,3,2,4), a matriz fica em bloco diagonal de dois blocos 2times2:
2 & 1 & 0 & 0 12 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & -1 & 0 longrightarrow A1 & 0 0 & A2 ,
onde
A1=2 & 112 & 3, A2=2 & 1-1 & 0
Os autovalores de T são a união dos autovalores de A1 e A2.

Passo 3

Para A1 o polinômio característico é
detl(A1-lambda Ir) =det2-lambda & 112 & 3-lambda =(2-lambda)(3-lambda)-12 =lambda^2-5lambda-6,
cuja raízes são
lambda1,2=5pmraiz25+242 =5pm72,
isto é lambda=6 e lambda=-1, cada qual de multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Para A2 o polinômio característico é
detl(A2-lambda Ir) =det2-lambda & 1-1 & -lambda =(2-lambda)(-lambda)+1 =lambda^2-2lambda+1 =(lambda-1)^2
Logo lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 5

Para verificar se lambda=1 é diagonalizável, calculamos a multiplicidade geométrica:
A2-I =1 & 1-1 & -1
tem posto 1, logo dimker(A2-I)=2-1=1. A multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1, inferior à algébrica 2. Portanto A2 não é diagonalizável e nem T o será.

Resposta

O operador T não é diagonalizável.

Exercícios relacionados