Decida se o operador , dado por sua matriz , é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores. .
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o operador T:R^4toR^4, dado na base B pela matriz
é diagonalizável. Para isso, vamos calcular os autovalores, suas multiplicidades algébrica e geométrica, e verificar se para cada autovalor a multiplicidade geométrica atinge a algébrica.
Passo 2
Reordenando simultaneamente linhas e colunas segundo a permutação (1,2,3,4)mapsto(1,3,2,4), a matriz fica em bloco diagonal de dois blocos 2times2:
Para verificar se lambda=1 é diagonalizável, calculamos a multiplicidade geométrica:
A2-I =1 & 1-1 & -1
tem posto 1, logo dimker(A2-I)=2-1=1. A multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1, inferior à algébrica 2. Portanto A2 não é diagonalizável e nem T o será.