Encontre os autovetores para os autovalores omega1= pm raiz15 e omega2= pm raiz5 para a matriz abaixo. Mostre sua resolução em detalhes.
[cc-40 omega^2+400 & -200 -200 & -40 omega^2+400]

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar os autovetores para os autovalores omega1= pm raiz15 e omega2= pm raiz5 da seguinte matriz:
-40 omega^2 + 400 & -200 -200 & -40 omega^2 + 400
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos lembrar que, para encontrar um autovetor correspondente a um autovalor lambda de uma matriz A, resolvemos a equação (A - lambda I) v = 0, onde I é a matriz identidade e v é o autovetor.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um dos autovalores para começar. Vamos pegar omega1 = raiz15. Substituímos esse valor na matriz original:
A = -40 (raiz15)^2 + 400 & -200 -200 & -40 (raiz15)^2 + 400
Calculando (raiz15)^2 = 15, então:
A = -40 times 15 + 400 & -200 -200 & -40 times 15 + 400 = -600 + 400 & -200 -200 & -600 + 400 = -200 & -200 -200 & -200

Passo 3

Agora, precisamos resolver (A - lambda I) v = 0. Porém, como já substituímos omega por raiz15, nossa matriz A já incorpora o autovalor correspondente. Então, montamos o sistema de equações:
-200 v1 - 200 v2 = 0 -200 v1 - 200 v2 = 0
Essas duas equações são equivalentes, então precisamos de apenas uma delas para encontrar o autovetor.

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
-200 v1 - 200 v2 = 0 implies v1 + v2 = 0 implies v1 = -v2
Isso significa que o autovetor v tem componentes que são opostas. Podemos escolher v2 = 1 (qualquer valor não nulo serve), então:
v1 = -1
Portanto, um autovetor correspondente a omega1 = raiz15 é:
v = -1 1

Passo 5

Agora, vamos repetir o processo para o autovalor omega2 = raiz5. Substituímos esse valor na matriz original:
A = -40 (raiz5)^2 + 400 & -200 -200 & -40 (raiz5)^2 + 400
Calculando (raiz5)^2 = 5, então:
A = -40 times 5 + 400 & -200 -200 & -40 times 5 + 400 = -200 + 400 & -200 -200 & -200 + 400 = 200 & -200 -200 & 200

Passo 6

Montamos novamente o sistema de equações:
200 v1 - 200 v2 = 0 -200 v1 + 200 v2 = 0
Essas equações também são equivalentes, então usamos uma delas para encontrar o autovetor.

Passo 7

Simplificamos a equação:
200 v1 - 200 v2 = 0 implies v1 - v2 = 0 implies v1 = v2
Isso significa que o autovetor v tem componentes iguais. Podemos escolher v2 = 1, então:
v1 = 1
Portanto, um autovetor correspondente a omega2 = raiz5 é:
v = 1 1

Resposta

Os autovetores são:
v1 = -1 1 para omega1 = raiz15
v2 = 1 1 para omega2 = raiz5

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