Encontre os autovetores para os autovalores e para a matriz abaixo. Mostre sua resolução em detalhes.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar os autovetores para os autovaloresomega1= pm raiz15 e omega2= pm raiz5 da seguinte matriz:
-40 omega^2 + 400 & -200 -200 & -40 omega^2 + 400
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos lembrar que, para encontrar um autovetor correspondente a um autovalor lambda de uma matriz A, resolvemos a equação (A - lambda I) v = 0, onde I é a matriz identidade e v é o autovetor.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um dos autovalores para começar. Vamos pegar omega1 = raiz15. Substituímos esse valor na matriz original:
Agora, precisamos resolver (A - lambda I) v = 0. Porém, como já substituímos omega por raiz15, nossa matriz A já incorpora o autovalor correspondente. Então, montamos o sistema de equações:
-200 v1 - 200 v2 = 0 -200 v1 - 200 v2 = 0
Essas duas equações são equivalentes, então precisamos de apenas uma delas para encontrar o autovetor.