Encontre os autovetores para os autovalores e para a matriz abaixo. Mostre sua resolução em detalhes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovetores para os autovaloresomega1= pm raiz15 e omega2= pm raiz5 da matriz:
-40 omega + 400 & -200 -200 & -40 omega + 400
Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, autovalores e autovetores. Vamos precisar usar a definição de autovetor, que é um vetor não nulo que, quando multiplicado pela matriz, resulta em um múltiplo dele mesmo (que é o autovalor).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar um autovetor dado um autovalor. Se temos uma matriz A e um autovalor lambda, o autovetor v satisfaz a equação:
(A - lambda I)v = 0
Aqui, I é a matriz identidade. Isso significa que precisamos resolver o sistema homogêneo (A - lambda I)v = 0 para encontrar v.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro autovalor: omega1 = raiz15. Substituindo omega por raiz15 na matriz A, temos: