Encontre os autovetores para os autovalores omega1= pm raiz15 e omega2= pm raiz5 para a matriz abaixo. Mostre sua resolução em detalhes.
[cc-40 omega+400 & -200 -200 & -40 omega+400]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovetores para os autovalores omega1= pm raiz15 e omega2= pm raiz5 da matriz:
-40 omega + 400 & -200 -200 & -40 omega + 400
Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes, autovalores e autovetores. Vamos precisar usar a definição de autovetor, que é um vetor não nulo que, quando multiplicado pela matriz, resulta em um múltiplo dele mesmo (que é o autovalor).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar um autovetor dado um autovalor. Se temos uma matriz A e um autovalor lambda, o autovetor v satisfaz a equação:
(A - lambda I)v = 0
Aqui, I é a matriz identidade. Isso significa que precisamos resolver o sistema homogêneo (A - lambda I)v = 0 para encontrar v.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro autovalor: omega1 = raiz15. Substituindo omega por raiz15 na matriz A, temos:
A - omega I = -40 raiz15 + 400 - raiz15 & -200 -200 & -40 raiz15 + 400 - raiz15
Mas, na verdade, a matriz fornecida já representa (A - omega I). Portanto, simplificamos a equação para:
-40 omega + 400 & -200 -200 & -40 omega + 400 v1 v2 = 0 0

Passo 4

Substituindo omega1 = raiz15 na matriz, temos:
-40 raiz15 + 400 & -200 -200 & -40 raiz15 + 400 v1 v2 = 0 0
Vamos calcular os elementos da matriz:
-40 raiz15 + 400 = 400 - 40 raiz15
Portanto, a matriz fica:
400 - 40 raiz15 & -200 -200 & 400 - 40 raiz15

Passo 5

Agora, temos o sistema de equações:
(400 - 40 raiz15) v1 - 200 v2 = 0 -200 v1 + (400 - 40 raiz15) v2 = 0
Podemos simplificar esse sistema dividindo por 200:
(2 - 0.2 raiz15) v1 - v2 = 0 -v1 + (2 - 0.2 raiz15) v2 = 0

Passo 6

Resolvendo a primeira equação para v2:
v2 = (2 - 0.2 raiz15) v1
Podemos escolher v1 = 1 para facilitar, então:
v2 = 2 - 0.2 raiz15

Passo 7

Portanto, um autovetor para omega1 = raiz15 é:
v = 1 2 - 0.2 raiz15

Passo 8

Agora, vamos repetir o processo para omega1 = -raiz15. Substituindo omega por -raiz15 na matriz A:
-40 (-raiz15) + 400 & -200 -200 & -40 (-raiz15) + 400 = 400 + 40 raiz15 & -200 -200 & 400 + 40 raiz15

Passo 9

O sistema de equações fica:
(400 + 40 raiz15) v1 - 200 v2 = 0 -200 v1 + (400 + 40 raiz15) v2 = 0
Dividindo por 200:
(2 + 0.2 raiz15) v1 - v2 = 0 -v1 + (2 + 0.2 raiz15) v2 = 0
Resolvendo a primeira equação para v2:
v2 = (2 + 0.2 raiz15) v1
Escolhendo v1 = 1, temos:
v2 = 2 + 0.2 raiz15

Passo 10

Portanto, um autovetor para omega1 = -raiz15 é:
v = 1 2 + 0.2 raiz15

Passo 11

Vamos agora encontrar os autovetores para omega2 = raiz5 e omega2 = -raiz5 seguindo o mesmo procedimento.
Substituindo omega = raiz5 na matriz A:
400 - 40 raiz5 & -200 -200 & 400 - 40 raiz5

Passo 12

O sistema de equações será:
(400 - 40 raiz5) v1 - 200 v2 = 0 -200 v1 + (400 - 40 raiz5) v2 = 0
Dividindo por 200:
(2 - 0.2 raiz5) v1 - v2 = 0 -v1 + (2 - 0.2 raiz5) v2 = 0
Resolvendo para v2:
v2 = (2 - 0.2 raiz5) v1
Escolhendo v1 = 1:
v2 = 2 - 0.2 raiz5

Passo 13

Assim, um autovetor para omega2 = raiz5 é:
v = 1 2 - 0.2 raiz5

Passo 14

Finalmente, para omega2 = -raiz5, substituímos omega = -raiz5 na matriz A:
400 + 40 raiz5 & -200 -200 & 400 + 40 raiz5

Passo 15

O sistema de equações fica:
(400 + 40 raiz5) v1 - 200 v2 = 0 -200 v1 + (400 + 40 raiz5) v2 = 0
Dividindo por 200:
(2 + 0.2 raiz5) v1 - v2 = 0 -v1 + (2 + 0.2 raiz5) v2 = 0
Resolvendo para v2:
v2 = (2 + 0.2 raiz5) v1
Escolhendo v1 = 1:
v2 = 2 + 0.2 raiz5

Resposta

Os autovetores para os autovalores dados são:
Para omega1 = raiz15:
v = 1 2 - 0.2 raiz15
Para omega1 = -raiz15:
v = 1 2 + 0.2 raiz15
Para omega2 = raiz5:
v = 1 2 - 0.2 raiz5
Para omega2 = -raiz5:
v = 1 2 + 0.2 raiz5

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