Decida se o operador T: R^n longrightarrow R^n, dado por sua matriz [T]B, é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma forma diagonal. Não precisa calcular a base de autovetores.
n=3,
[T]B=[lll 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1 ]

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base B é
[T]B = 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1 ,
e pede para decidir se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma forma diagonal. O conteúdo envolve cálculo de autovalores via polinômio característico, fatoração e verificação de multiplicidade de raízes.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A=[T]B definindo lambda e fazendo det(A-lambda I)=0. Escrevendo
A-lambda I = 1-lambda & 1 & 2 1 & 2-lambda & 1 2 & 1 & 1-lambda ,
expandimos o determinante por cofactores na primeira linha:
det(A-lambda I) =(1-lambda)l((2-lambda)(1-lambda)-1cdot1r) -1l(1cdot(1-lambda)-1cdot2r) +2l(1cdot1-(2-lambda)cdot2r)

Passo 3

Simplificando cada termo obtemos
det(A-lambda I) =-lambda^3+4lambda^2+lambda-4
Multiplicando por -1, o polinômio característico fica
lambda^3-4lambda^2-lambda+4 =(lambda-4)(lambda^2-1) =(lambda-4)(lambda-1)(lambda+1)
Logo os autovalores são lambda=4,1,-1, todos distintos.

Passo 4

Como os três autovalores são distintos, a multiplicidade algébrica de cada um é 1, o que garante que T é diagonalizável sobre R.

Resposta

T é diagonalizável e, na base apropriada de autovetores, a forma diagonal é
diag(4,,1,,-1)

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