Dizemos que duas matrizes A e B comutam se A B=B A. Calcule os valores de x e y para que as matrizes
A=[ll 1 & 0 1 & 2 ] e B=[ll 7 & x y & 0 ] comutem

Passo 1

O enunciado pede os valores de e tais que as matrizes
comutem, isto é, . Vamos usar multiplicação de matrizes e resolver o sistema obtido pelos coeficientes iguais.

Passo 2

Calcular AB. Pela definição de produto de matrizes,
AB = 1cdot7 + 0cdot y & 1cdot x + 0cdot0 1cdot7 + 2cdot y & 1cdot x + 2cdot0 = 7 & x 7 + 2y & x

Passo 3

Calcular BA. Seguindo a mesma regra,
BA = 7cdot1 + xcdot1 & 7cdot0 + xcdot2 ycdot1 + 0cdot1 & ycdot0 + 0cdot2 = 7 + x & 2x y & 0

Passo 4

Impor AB = BA igualando as entradas correspondentes:
  1. 7 = 7 + x
  2. x = 2x
  3. 7 + 2y = y
  4. x = 0 (da entrada (1,2) ou da (2,1) em comparação)
Da equação 1) segue x=0. Substituindo em 2) e 4) confirma-se 0=0.
Da equação 3) temos
7 + 2y = y Longrightarrow y = -7

Resposta

x = 0, y = -7.

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