Decida se o operador linear
é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\left(
\right) \operatorname{com} \mathbb{K}=\mathbb{C}
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\left(
Passo 1
Temos o operador linear T em
cuja matriz na base
é
O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: vamos precisar do polinômio característico, achar autovalores e autovetores.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico
Resolvendo
Passo 3
Como os dois autovalores
são distintos em
, o operador é diagonalizável.
Passo 4
Para cada autovalor resolvemos
. Por exemplo, para
obtemos a equação
Analogamente, para
Passo 5
Assim, uma base de autovetores é
e na ordem
a forma diagonal de
é dada pela matriz diagonal cujos elementos são os autovalores correspondentes.
Resposta
O operador é diagonalizável em
. Uma base de autovetores é
E a forma diagonal correspondente é