Decida se o operador linear T: K^n K^n é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\left( cc2 & 3 -1 & 1\right) \operatorname{com} \mathbb{K}=\mathbb{C}

Passo 1

Temos o operador linear T em C^2 cuja matriz na base B é A=2 & 3 -1 & 1 O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: vamos precisar do polinômio característico, achar autovalores e autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
chi(lambda)=det(A-lambda I)=det2-lambda & 3 -1 & 1-lambda=(2-lambda)(1-lambda)+3=lambda^2-3lambda+5
Resolvendo lambda^2-3lambda+5=0 obtemos
lambda1,2=3pm iraiz112

Passo 3

Como os dois autovalores lambda1neqlambda2 são distintos em C, o operador é diagonalizável.

Passo 4

Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0. Por exemplo, para
lambda1=tfrac3+iraiz112 obtemos a equação
(1-iraiz11)x+6y=0que leva ao autovetor
v1=-tfrac1+iraiz1121
Analogamente, para lambda2=tfrac3-iraiz112 temos
v2=-tfrac1-iraiz1121

Passo 5

Assim, uma base de autovetores é v1,v2 e na ordem (v1,v2) a forma diagonal de T é dada pela matriz diagonal cujos elementos são os autovalores correspondentes.

Resposta

O operador é diagonalizável em C^2. Uma base de autovetores é
-tfrac1+iraiz1121,;-tfrac1-iraiz1121
E a forma diagonal correspondente é
D=tfrac3+iraiz112 & 0[6pt]0 & tfrac3-iraiz112

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