Sejam X um conjunto, K um corpo e F(X, K) o espaço vetorial de todas as funções de X em K. Seja W um subespaço de dimensão n de F(X, K). Mostre que existem elementos x1, ldots, xn in X e funções f1, ldots, fn in W tais que i, j=1, ldots n para .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que num subespaço W de dimensão n do espaço de todas as funções de X em 𝕂 podemos encontrar n pontos x₁,…,xₙ em X e n funções em W que se comportam como uma base canônica via avaliação, isto é fᵢ(xⱼ)=δᵢⱼ. Vamos usar conceitos de mapas lineares e o fato de que dim
W=n.

Passo 2

Definimos, para qualquer subconjunto finito S={x₁,…,xₖ}⊆X, o mapa de avaliação
ES:Wto 𝕂^k, ES(f)=(f(x1),,f(xk))
Esse mapa é linear e, por teoria de espaços vetoriais, rank
E_S ≤ min(dim
W, k). Queremos finalmente um S com k=n tal que E_S seja injetor (e portanto bijetor, já que dim
W=n).

Passo 3

Fazemos uma construção por indução nos pontos xⱼ. Como W≠{0}, existe x₁∈X e f∈W com f(x₁)≠0. Logo rank
E_{{x₁}}=1. Suponha que já escolhemos x₁,…,x_k com k<n de modo que rank
E_{{x₁,…,x_k}}=k. A dimensão do núcleo de E_{{x₁,…,x_k}} é n−k>0, então existe g≠0 em W que anula em x₁,…,x_k; como g≠0, há um ponto x_{k+1} ∈ X onde g(x_{k+1})≠0. Isso faz rank
E_{{x₁,…,x_{k+1}}}=k+1.

Passo 4

Continuando esse processo até k+1=n, obtemos S={x₁,…,xₙ} tal que E_S:W→𝕂^n é injetor. Mas dim
W=dim
𝕂^n=n, logo E_S é isomorfismo. Isso implica que E_S é também sobrejetor.

Passo 5

Sejam e₁,…,eₙ a base canônica de 𝕂^n. Como E_S é bijetor, existe para cada i uma função fᵢ∈W tal que
ES(fi)=ei,
ou seja
fi(xj)=δij,
concluindo o que se queria.

Passo 6

A construção funciona para qualquer subespaço W de dimensão n, pois usamos apenas a noção de núcleo e posto de mapas lineares e o fato de que W não é trivial.

Resposta

Escolhendo os pontos x₁,…,xₙ conforme a construção e definindo fᵢ=E_S^{-1}(eᵢ), obtemos funções em W tais que fᵢ(xⱼ)=δ_{ij}.

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