Sejam
um conjunto,
um corpo e
o espaço vetorial de todas as funções de
em
. Seja
um subespaço de dimensão
de
. Mostre que existem elementos
e funções
tais que
para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que num subespaço W de dimensão n do espaço de todas as funções de X em 𝕂 podemos encontrar n pontos x₁,…,xₙ em X e n funções em W que se comportam como uma base canônica via avaliação, isto é fᵢ(xⱼ)=δᵢⱼ. Vamos usar conceitos de mapas lineares e o fato de que dim
W=n.
W=n.
Passo 2
Definimos, para qualquer subconjunto finito S={x₁,…,xₖ}⊆X, o mapa de avaliação
Esse mapa é linear e, por teoria de espaços vetoriais, rank
E_S ≤ min(dim
W, k). Queremos finalmente um S com k=n tal que E_S seja injetor (e portanto bijetor, já que dim
W=n).
E_S ≤ min(dim
W, k). Queremos finalmente um S com k=n tal que E_S seja injetor (e portanto bijetor, já que dim
W=n).
Passo 3
Fazemos uma construção por indução nos pontos xⱼ. Como W≠{0}, existe x₁∈X e f∈W com f(x₁)≠0. Logo rank
E_{{x₁}}=1. Suponha que já escolhemos x₁,…,x_k com k<n de modo que rank
E_{{x₁,…,x_k}}=k. A dimensão do núcleo de E_{{x₁,…,x_k}} é n−k>0, então existe g≠0 em W que anula em x₁,…,x_k; como g≠0, há um ponto x_{k+1} ∈ X onde g(x_{k+1})≠0. Isso faz rank
E_{{x₁,…,x_{k+1}}}=k+1.
E_{{x₁}}=1. Suponha que já escolhemos x₁,…,x_k com k<n de modo que rank
E_{{x₁,…,x_k}}=k. A dimensão do núcleo de E_{{x₁,…,x_k}} é n−k>0, então existe g≠0 em W que anula em x₁,…,x_k; como g≠0, há um ponto x_{k+1} ∈ X onde g(x_{k+1})≠0. Isso faz rank
E_{{x₁,…,x_{k+1}}}=k+1.
Passo 4
Continuando esse processo até k+1=n, obtemos S={x₁,…,xₙ} tal que E_S:W→𝕂^n é injetor. Mas dim
W=dim
𝕂^n=n, logo E_S é isomorfismo. Isso implica que E_S é também sobrejetor.
W=dim
𝕂^n=n, logo E_S é isomorfismo. Isso implica que E_S é também sobrejetor.
Passo 5
Sejam e₁,…,eₙ a base canônica de 𝕂^n. Como E_S é bijetor, existe para cada i uma função fᵢ∈W tal que
ou seja
concluindo o que se queria.
Passo 6
A construção funciona para qualquer subespaço W de dimensão n, pois usamos apenas a noção de núcleo e posto de mapas lineares e o fato de que W não é trivial.
Resposta
Escolhendo os pontos x₁,…,xₙ conforme a construção e definindo fᵢ=E_S^{-1}(eᵢ), obtemos funções em W tais que fᵢ(xⱼ)=δ_{ij}.