Decida se o operador linear T: K^n K^n é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\left( ccc6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3\right) \operatorname{com} \mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o operador linear T em K^3, dado pela matriz
[T] B^ B=6 & -3 & -2 4 & -1 & -2 10 & -5 & -3,
é diagonalizável sobre R e sobre C, e, se positivo, encontrar uma base de autovetores e a forma diagonal. Vamos precisar calcular o polinômio característico, suas raízes (autovalores) e os espaços próprios correspondentes.

Passo 2

Para achar o polinômio característico, montamos
detl([T]-lambda Ir) =6-lambda & -3 & -2 4 & -1-lambda & -2 10 & -5 & -3-lambda
Fazendo a expansão e simplificando, obtemos
chiT(lambda)=-(lambda^3-2lambda^2+lambda-2)=0 Long<=ftrightarrow lambda^3-2lambda^2+lambda-2=0

Passo 3

O próximo passo é fatorar lambda^3-2lambda^2+lambda-2. Testando raízes inteiras, lambda=2 zera o polinômio. Dividindo por (lambda-2) por divisão sintética, achamos o quociente lambda^2+1. Logo
chiT(lambda)=(lambda-2)(lambda^2+1)
e as raízes são 2,,i,,-i.

Passo 4

Como os três autovalores são distintos em C, o operador é diagonalizável sobre C. Sobre R, porém, dois autovalores são não reais ( i e -i), o que impede uma diagonalização real. Concluímos:
  • Sobre R: NÃO diagonalizável.
  • Sobre C: diagonalizável.

Passo 5

Para lambda=2, resolvemos
([T]-2I)v=0 Longrightarrow 4x-3y-2z=0,10x-5y-5z=0,
dois sistemas equivalentes que levam a y=0, z=2x. Tomando x=1, um autovetor é
v1=(1,0,2)

Passo 6

Para lambda=i, resolvemos ([T]-iI)v=0 no C^3 e encontramos que todas as soluções satisfazem x=y e 2x=(3-i)x-2z=0, etc. Escolhendo z=5, um autovetor é
v2=(3+i,3+i,5)
Para lambda=-i, o autovetor pode ser tomado como o conjugado:
v3=(3-i,3-i,5)

Passo 7

Finalmente, a base de autovetores sobre C é
v1,v2,v3= (1,0,2),(3+i,3+i,5),(3-i,3-i,5),
e a matriz diagonal que representa T nessa base é
D=diag(2,i,-i)

Resposta

Sobre R o operador não é diagonalizável (autovalores não reais). Sobre C ele é diagonalizável com base de autovetores (1,0,2),(3+i,3+i,5),(3-i,3-i,5) e forma diagonal diag(2,i,-i).

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