Decida se o operador linear é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\left(\right) \operatorname{com} \mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o operador linear T em , dado pela matriz
é diagonalizável sobre R e sobre C, e, se positivo, encontrar uma base de autovetores e a forma diagonal. Vamos precisar calcular o polinômio característico, suas raízes (autovalores) e os espaços próprios correspondentes.
O próximo passo é fatorar lambda^3-2lambda^2+lambda-2. Testando raízes inteiras, lambda=2 zera o polinômio. Dividindo por (lambda-2) por divisão sintética, achamos o quociente lambda^2+1. Logo
chiT(lambda)=(lambda-2)(lambda^2+1)
e as raízes são 2,,i,,-i.
Passo 4
Como os três autovalores são distintos em C, o operador é diagonalizável sobre C. Sobre R, porém, dois autovalores são não reais (i e -i), o que impede uma diagonalização real. Concluímos:
dois sistemas equivalentes que levam a y=0, z=2x. Tomando x=1, um autovetor é
v1=(1,0,2)
Passo 6
Para lambda=i, resolvemos ([T]-iI)v=0 no C^3 e encontramos que todas as soluções satisfazem x=y e 2x=(3-i)x-2z=0, etc. Escolhendo z=5, um autovetor é
v2=(3+i,3+i,5)
Para lambda=-i, o autovetor pode ser tomado como o conjugado:
v3=(3-i,3-i,5)
Passo 7
Finalmente, a base de autovetores sobre C é
v1,v2,v3= (1,0,2),(3+i,3+i,5),(3-i,3-i,5),
e a matriz diagonal que representa T nessa base é
D=diag(2,i,-i)
Resposta
Sobre R o operador não é diagonalizável (autovalores não reais). Sobre C ele é diagonalizável com base de autovetores (1,0,2),(3+i,3+i,5),(3-i,3-i,5) e forma diagonal diag(2,i,-i).