Seja W o conjunto de todos os vetores K^n em x1+ldots+xn=0 tais que W
a Mostre que K^n é um subespaço vetorial de W^0.
b Prove que f(x1, ldots, xn)=c sumj=1^n xj consiste dos funcionais lineais da forma
W^*
c Mostre que o espaço dual W de f(x1, ldots xn)=c1 x1+ldots +cn xn pode ser identificado com os funcionais lineares
K^n
em c1+ldots+cn=0 que satisfazem .

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W={(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n: x_1+\cdots+x_n=0},
pede em (a) mostrar que W é subespaço, em (b) identificar o anulador W^0 e em © caracterizar o dual W^*. Vamos usar conceitos de subespaço vetorial, anulador e isomorfismo canônico do dual.

Passo 2

Para (a), lembramos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se:
  1. o vetor zero de V pertence a W;
  2. W é fechado em soma;
  3. W é fechado em multiplicação escalar.
    Aqui o zero é (0,\dots,0) e satisfaz 0+\cdots+0=0, logo 0\in W. Se u=(u_j) e v=(v_j) estão em W, então \sum_j u_j=0 e \sum_j v_j=0, daí
sumj (uj+vj)=sumj uj+sumj vj=0+0=0,
então u+v\in W. Também, para escalar \alpha, temos
sumj (alpha uj)=alphasumj uj=alphacdot0=0,
então \alpha u\in W. Logo W é subespaço.

Passo 3

Para (b), qualquer funcional linear f em (\mathbb Kn)* pode ser escrito como
f(x)=sumj=1^n cjxj
O anulador W^0 é o conjunto dos f tais que f(w)=0 para todo w\in W. Se w\in W então \sum_j w_j=0. Em particular, para cada i e j, o vetor e_i−e_j está em W, logo
f(ei−ej)=ci−cj=0,forall i,j
Isso força c_i=c_j para todos i,j. Chamando esse valor comum de c, temos f(x)=c\sum_j x_j. Portanto
W^0=f: f(x)=csumj=1^n xj,;cin K,
um espaço de dimensão 1, gerado pelo funcional soma.

Passo 4

Para ©, usamos que a restrição dos funcionais de (\mathbb Kn)* a W define um mapa linear sobrejetivo
pi:( K^n)^*to W^*,pi(f)=f|W,
com núcleo ker,\pi=W^0. Pelo Teorema do Isomorfismo, temos
W^*simeq ( K^n)^*/W^0
Isso diz que cada funcional em W^* corresponde a uma classe de funcionais em (\mathbb Kn)*, onde duas representações diferem por um múltiplo de \sum_j x_j. Em cada classe existe exatamente um funcional da forma
f(x)=sumj=1^n cjxj
cuja soma dos coeficientes seja zero:
sumj=1^n cj=0
Logo podemos identificar W^* com
f(x)=c1x1+cdots+cnxn:sumj=1^n cj=0

Resposta

W é subespaço vetorial de dimensão n−1; o anulador W^0 contém exatamente os funcionais f(x)=c\sum_{j=1}^n x_j; e o dual W^* pode ser identificado com os funcionais f(x)=\sum_{j=1}^n c_j x_j sujeitos a \sum_{j=1}^n c_j=0.

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