Seja
o conjunto de todos os vetores
em
tais que
a Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
b Prove que
consiste dos funcionais lineais da forma
c Mostre que o espaço dual
de
pode ser identificado com os funcionais lineares
em
que satisfazem
.
a Mostre que
b Prove que
Passo 1
O enunciado define o subespaço
W={(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n: x_1+\cdots+x_n=0},
pede em (a) mostrar que W é subespaço, em (b) identificar o anulador W^0 e em © caracterizar o dual W^*. Vamos usar conceitos de subespaço vetorial, anulador e isomorfismo canônico do dual.
W={(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb K^n: x_1+\cdots+x_n=0},
pede em (a) mostrar que W é subespaço, em (b) identificar o anulador W^0 e em © caracterizar o dual W^*. Vamos usar conceitos de subespaço vetorial, anulador e isomorfismo canônico do dual.
Passo 2
Para (a), lembramos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se:
- o vetor zero de V pertence a W;
- W é fechado em soma;
- W é fechado em multiplicação escalar.
Aqui o zero é (0,\dots,0) e satisfaz 0+\cdots+0=0, logo 0\in W. Se u=(u_j) e v=(v_j) estão em W, então \sum_j u_j=0 e \sum_j v_j=0, daí
então u+v\in W. Também, para escalar \alpha, temos
então \alpha u\in W. Logo W é subespaço.
Passo 3
Para (b), qualquer funcional linear f em (\mathbb Kn)* pode ser escrito como
O anulador W^0 é o conjunto dos f tais que f(w)=0 para todo w\in W. Se w\in W então \sum_j w_j=0. Em particular, para cada i e j, o vetor e_i−e_j está em W, logo
Isso força c_i=c_j para todos i,j. Chamando esse valor comum de c, temos f(x)=c\sum_j x_j. Portanto
um espaço de dimensão 1, gerado pelo funcional soma.
Passo 4
Para ©, usamos que a restrição dos funcionais de (\mathbb Kn)* a W define um mapa linear sobrejetivo
com núcleo ker,\pi=W^0. Pelo Teorema do Isomorfismo, temos
Isso diz que cada funcional em W^* corresponde a uma classe de funcionais em (\mathbb Kn)*, onde duas representações diferem por um múltiplo de \sum_j x_j. Em cada classe existe exatamente um funcional da forma
cuja soma dos coeficientes seja zero:
Logo podemos identificar W^* com
Resposta
W é subespaço vetorial de dimensão n−1; o anulador W^0 contém exatamente os funcionais f(x)=c\sum_{j=1}^n x_j; e o dual W^* pode ser identificado com os funcionais f(x)=\sum_{j=1}^n c_j x_j sujeitos a \sum_{j=1}^n c_j=0.