Decida se o operador linear T: K^n K^n é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\left( cc-4 & -1 4 & 0\right) \operatorname{com} \mathbb{K}=\mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o operador linear T:R^2toR^2, cuja matriz em uma base B é
[T]B^B=-4 & -14 & 0,
é diagonalizável, e em caso afirmativo encontrar uma base de autovetores e a forma diagonal. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores.

Passo 2

Para verificar diagonalizabilidade, o primeiro passo é calcular o polinômio característico de [T]. A gente faz
detl([T]-lambda Ir)=det-4-lambda & -14 & -lambda =(-4-lambda)(-lambda)-(-1)cdot4
Expandindo,
(-4-lambda)(-lambda)+4=lambda(4+lambda)+4=lambda^2+4lambda+4

Passo 3

Agora achamos as raízes do polinômio lambda^2+4lambda+4=0. O discriminante é
De
o que dá raiz dupla
lambda =-42=-2,
ou seja, autovalor lambda=-2 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para ver se é diagonalizável, precisamos comparar essa multiplicidade algébrica com a multiplicidade geométrica, que é a dimensão do espaço próprio. Resolvemos
([T]+2I)v=0Long<=ftrightarrow-4+2 & -14 & 0+2v=-2 & -14 & 2v=0
Essa matriz tem posto 1 (as duas linhas são proporcionais), então o espaço nulo tem dimensão 2-1=1. Logo a multiplicidade geométrica de lambda=-2 é 1.

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), não conseguimos dois autovetores independentes. Portanto o operador T não é diagonalizável sobre R.

Resposta

O operador não é diagonalizável em R^2, pois o autovalor -2 tem multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1.

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