Decida se o operador linear
é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\left(
\right) \operatorname{com} \mathbb{K}=\mathbb{R}
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\left(
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o operador linear
, cuja matriz em uma base
é
é diagonalizável, e em caso afirmativo encontrar uma base de autovetores e a forma diagonal. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores.
Passo 2
Para verificar diagonalizabilidade, o primeiro passo é calcular o polinômio característico de
. A gente faz
Expandindo,
Passo 3
Agora achamos as raízes do polinômio
. O discriminante é
o que dá raiz dupla
ou seja, autovalor
com multiplicidade algébrica 2.
Passo 4
Para ver se é diagonalizável, precisamos comparar essa multiplicidade algébrica com a multiplicidade geométrica, que é a dimensão do espaço próprio. Resolvemos
Essa matriz tem posto 1 (as duas linhas são proporcionais), então o espaço nulo tem dimensão
. Logo a multiplicidade geométrica de
é 1.
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), não conseguimos dois autovetores independentes. Portanto o operador
não é diagonalizável sobre
.
Resposta
O operador não é diagonalizável em
, pois o autovalor
tem multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1.