Prove que
Seja V um e.v. sobre um corpo K algebricamente fechado e seja T: V V um operador linear. Prove que alpha é um autovalor de p(T) se e somente se alpha=p(lambda) para algum lambda autovalor de T.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em termos de operadores lineares sobre um espaço vetorial sobre um corpo alg. fechado, que os autovalores de p(T) são exatamente os valores p(λ) quando λ varia sobre os autovalores de T. Vamos usar a ideia de triangularização e olhar as diagonais das matrizes.

Passo 2

Como o corpo é alg. fechado, sabemos pelo teorema de triangularização que existe uma base de V em que a matriz de T é triangular superior. Denote essa matriz por A. Logo, A tem na diagonal, em ordem, os autovalores λ₁, λ₂, …, λₙ de T.

Passo 3

Aplicando o polinômio p a A, isto é, considerando p(A), obtém-se outra matriz triangular superior. A propriedade importante é que em uma matriz triangular, p(A) continua triangular e sua diagonal é dada por p aplicando-se a cada entrada diagonal de A. Ou seja, a diagonal de p(A) é p(λ₁), p(λ₂), …, p(λₙ).

Passo 4

Em uma matriz triangular, os autovalores são justamente os elementos da diagonal. Portanto, os autovalores de p(A) são p(λ₁), p(λ₂), …, p(λₙ). Como A representa T na base escolhida, p(A) representa p(T) nessa base, e isso mostra que α é autovalor de p(T) se e somente se α aparece entre p(λ₁), p(λ₂), …, p(λₙ). Equivalente a dizer que α = p(λ) para algum autovalor λ de T.

Resposta

α é autovalor de p(T) se e somente se existe λ autovalor de T tal que α = p(λ).

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