Prove que
Seja
um e.v. sobre um corpo
algebricamente fechado e seja
um operador linear. Prove que
é um autovalor de
se e somente se
para algum
autovalor de
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, em termos de operadores lineares sobre um espaço vetorial sobre um corpo alg. fechado, que os autovalores de p(T) são exatamente os valores p(λ) quando λ varia sobre os autovalores de T. Vamos usar a ideia de triangularização e olhar as diagonais das matrizes.
Passo 2
Como o corpo é alg. fechado, sabemos pelo teorema de triangularização que existe uma base de V em que a matriz de T é triangular superior. Denote essa matriz por A. Logo, A tem na diagonal, em ordem, os autovalores λ₁, λ₂, …, λₙ de T.
Passo 3
Aplicando o polinômio p a A, isto é, considerando p(A), obtém-se outra matriz triangular superior. A propriedade importante é que em uma matriz triangular, p(A) continua triangular e sua diagonal é dada por p aplicando-se a cada entrada diagonal de A. Ou seja, a diagonal de p(A) é p(λ₁), p(λ₂), …, p(λₙ).
Passo 4
Em uma matriz triangular, os autovalores são justamente os elementos da diagonal. Portanto, os autovalores de p(A) são p(λ₁), p(λ₂), …, p(λₙ). Como A representa T na base escolhida, p(A) representa p(T) nessa base, e isso mostra que α é autovalor de p(T) se e somente se α aparece entre p(λ₁), p(λ₂), …, p(λₙ). Equivalente a dizer que α = p(λ) para algum autovalor λ de T.
Resposta
α é autovalor de p(T) se e somente se existe λ autovalor de T tal que α = p(λ).