Prove que o polinômio característico da transposta de um operador T^t coincide com o polinômio característico de T.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o polinômio característico de um operador linear T e de sua transposta Tᵗ são iguais. O conteúdo aqui é polinômio característico de operadores lineares e vamos usar propriedades de determinante e representação matricial para provar.

Passo 2

Escolhemos uma base {e₁,…,eₙ} do espaço vetorial V. Seja A a matriz de T nessa base, isto é, M(T)=A. Sabemos que a matriz de Tᵗ na base dual é a transposta de A, ou seja, M(Tᵗ)=Aᵀ.

Passo 3

Pela definição, o polinômio característico de T é
χT(λ)=det(A-λI)
e o de Tᵗ é
χTᵗ(λ)=det(Aᵀ-λI)

Passo 4

Usamos a propriedade fundamental do determinante de matrizes quadradas: para qualquer matriz M, det(Mᵀ)=det(M). Note que
Aᵀ-λI=(A-λI)ᵀ,
então
χTᵗ(λ)=det(Aᵀ-λI)=detl((A-λI)ᵀr)=det(A-λI)=χT(λ)

Resposta

O polinômio característico de Tᵗ coincide com o de T, isto é, χTᵗ(λ)=χT(λ), pois det(Mᵀ)=det(M).

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