Prove que o polinômio característico da transposta de um operador
coincide com o polinômio característico de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o polinômio característico de um operador linear T e de sua transposta Tᵗ são iguais. O conteúdo aqui é polinômio característico de operadores lineares e vamos usar propriedades de determinante e representação matricial para provar.
Passo 2
Escolhemos uma base {e₁,…,eₙ} do espaço vetorial V. Seja A a matriz de T nessa base, isto é, M(T)=A. Sabemos que a matriz de Tᵗ na base dual é a transposta de A, ou seja, M(Tᵗ)=Aᵀ.
Passo 3
Pela definição, o polinômio característico de T é
e o de Tᵗ é
Passo 4
Usamos a propriedade fundamental do determinante de matrizes quadradas: para qualquer matriz M,
. Note que
então
Resposta
O polinômio característico de Tᵗ coincide com o de T, isto é,
, pois
.