Sejam
um espaço vetorial sobre o corpo
um operador linear sobre
um autovetor de T associado a um autovalor
e
um escalar não nulo. Mostre que
é um autovalor do operador linear
com v o autovetor associado.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial
sobre
, um operador linear
, um vetor não nulo
e um escalar
tais que
Queremos mostrar que, para qualquer escalar não nulo
, o operador
tem autovalor
com o mesmo autovetor
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a definição de operador linear multiplicado por escalar é
Como
e
são dados,
é de fato linear (produto escalar de operador linear).
Passo 3
Agora aplicamos
ao vetor
. Usando que
, obtemos
Isso mostra exatamente que
é autovetor de
associado ao autovalor
.
Passo 4
Como
e
, concluímos que
é um autovalor de
com autovetor
.