Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K, T um operador linear sobre V, v um autovetor de T associado a um autovalor lambda e alpha um escalar não nulo. Mostre que alpha lambda é um autovalor do operador linear alpha T com v o autovetor associado.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V sobre K, um operador linear T:Vto V, um vetor não nulo vin V e um escalar lambdainK tais que
T(v)=lambda,v
Queremos mostrar que, para qualquer escalar não nulo alphainK, o operador alpha T tem autovalor alphalambda com o mesmo autovetor v.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a definição de operador linear multiplicado por escalar é
(alpha T)(x)=alphal(T(x)r) para todo xin V
Como alpha e T são dados, alpha T é de fato linear (produto escalar de operador linear).

Passo 3

Agora aplicamos alpha T ao vetor v. Usando que T(v)=lambda,v, obtemos
(alpha T)(v) =alpha,T(v) =alpha,(lambda,v) =(alphalambda),v
Isso mostra exatamente que v é autovetor de alpha T associado ao autovalor alphalambda.

Passo 4

Como vneq0 e (alpha T)(v)=(alphalambda),v, concluímos que alphalambda é um autovalor de alpha T com autovetor v.

Resposta

alphalambda é autovalor de alpha T com autovetor v.

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