Determine a posição relativa e calcule as distancias, Entre as retas r:(x, y, z)=(1,2,3)+t(2,2,5) e l:(x, y, z)=(0,0,1)+s(1,3,4).

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica
r:;(x,y,z)=(1,2,3)+t,(2,2,5)
l:;(x,y,z)=(0,0,1)+s,(1,3,4)
que vivem no espaço R^3. Queremos determinar sua posição relativa (paralelas, concorrentes ou reversas) e, se forem reversas (skew), calcular a distância mínima entre elas. Para isso vamos usar:
– teste de colinearidade dos vetores diretores para ver se são paralelas;
– solução do sistema para verificar interseção;
– fórmula da distância entre retas reversas via produto misto.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores
vr=(2,2,5), vl=(1,3,4)
Para ver se são paralelas, procuramos lambda tal que vr=lambda vl.
Da coordenada x: 2=lambdacdot1 lambda=2.
Mas da coordenada y: 2=lambdacdot3 daria lambda=tfrac23.
Como não há lambda que satisfaça simultaneamente, concluímos que as retas não são paralelas.

Passo 3

Como não são paralelas, ou concorrem (intersectam) ou são reversas. Para testar interseção, igualamos coordenadas:
1+2t = s, 2+2t = 3s, 3+5t = 1+4s
Da primeira equação s=1+2t. Substituindo na segunda:
2+2t=3(1+2t);Longrightarrow;2+2t=3+6t;Longrightarrow;t=-tfrac14,;s=tfrac12
Na terceira, porém,
3+5l(-tfrac14r)=tfrac74neq 1+4l(tfrac12r)=3,
logo não há solução comum. As retas são então reversas (skew).

Passo 4

Para calcular a distância entre retas reversas usamos
d=l|ABcdot( vrtimes vl)r|| vrtimes vl|,
onde A=(1,2,3) está em r e B=(0,0,1) está em l.
Calculamos primeiro
AB=B-A=(-1,-2,-2)
Em seguida o produto vetorial:
vrtimes vl = i & j & k 2 & 2 & 5 1 & 3 & 4 =(-7,,-3,,4)

Passo 5

Agora o numerador (produto escalar) e o denominador:
ABcdot( vrtimes vl) =(-1)(-7)+(-2)(-3)+(-2)(4)=7+6-8=5,
| vrtimes vl| =raiz(-7)^2+(-3)^2+4^2 =raiz49+9+16 =raiz74
Logo a distância mínima é
d=|5|raiz74 =5raiz74

Resposta

As retas são reversas (nem paralelas nem concorrentes) e a distância mínima entre elas é
d=5raiz74

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