Decida se as proposições são falsas ou verdadeiras e justifique:
Se f(x)=llx^2, & x >= 0 x^2+1, & x<0, então f^prime(0)=0, já que f^prime(x)=2 x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= x^2, & x>=0, x^2+1, & x<0,
e afirma que
f'(0)=0
“já que f'(x)=2x”.
O conteúdo é derivabilidade de função definida por partes em um ponto de fronteira, e vamos precisar usar a definição de derivada em x=0 e comparar as derivadas laterais.

Passo 2

Calculamos a derivada à direita em 0 por definição:
f'+(0) =limhto0^+f(0+h)-f(0)h =limhto0^+h^2-0^2h =limhto0^+h =0

Passo 3

Calculamos a derivada à esquerda em 0 por definição:
f'-(0) =limhto0^-f(0+h)-f(0)h =limhto0^-(h^2+1)-1h =limhto0^-h^2h =limhto0^-h =0

Passo 4

Como f'+(0)=0 e f'-(0)=0, a derivada em 0 existe e vale
f'(0)=0
A conclusão está correta, mas a justificativa “já que f'(x)=2x” é incompleta para x=0: esse resultado vale apenas para xneq0, e em 0 precisamos usar a definição de derivada.

Resposta

A proposição é verdadeira, mas a justificativa está incorreta: é preciso usar a definição de derivada em 0, não apenas a fórmula f'(x)=2x para xneq0.

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