Decida se as proposições são falsas ou verdadeiras e justifique:
Se , então f^prime(0)=0, já que f^prime(x)=2 x.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x)= x^2, & x>=0, x^2+1, & x<0,
e afirma que
f'(0)=0
“já que f'(x)=2x”.
O conteúdo é derivabilidade de função definida por partes em um ponto de fronteira, e vamos precisar usar a definição de derivada em x=0 e comparar as derivadas laterais.
Passo 2
Calculamos a derivada à direita em 0 por definição:
Como f'+(0)=0 e f'-(0)=0, a derivada em 0 existe e vale
f'(0)=0
A conclusão está correta, mas a justificativa “já que f'(x)=2x” é incompleta para x=0: esse resultado vale apenas para xneq0, e em 0 precisamos usar a definição de derivada.
Resposta
A proposição é verdadeira, mas a justificativa está incorreta: é preciso usar a definição de derivada em 0, não apenas a fórmula f'(x)=2x para xneq0.