Decida se as proposições são falsas ou verdadeiras e justifique:
Se
é ponto de extremo local de
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para avaliarmos a proposição “Se
é ponto de extremo local de
, então
”.
O conteúdo aqui é o teorema de Fermat sobre extremos e derivadas: ele dá condições em que um extremo local força a derivada nula.
O conteúdo aqui é o teorema de Fermat sobre extremos e derivadas: ele dá condições em que um extremo local força a derivada nula.
Passo 2
Mostramos que a afirmação é falsa sem a hipótese de derivabilidade. Considere
Esse
tem mínimo local em
, porque para todo
próximo de zero temos
.
Porém as derivadas laterais em são
Porém as derivadas laterais em
ou seja,
não existe e, em particular, não é igual a zero.
Passo 3
A versão correta do teorema de Fermat é: “Se
é derivável em
e tem extremo local em
, então
”.
Sem exigir que seja derivável em
, a conclusão pode falhar, como vimos no exemplo de
.
Sem exigir que
Resposta
A proposição é falsa.