Decida se as proposições são falsas ou verdadeiras e justifique:
Se x=a é ponto de extremo local de f, então f^prime(a)=0.

Passo 1

O enunciado pede para avaliarmos a proposição “Se x=a é ponto de extremo local de f, então f'(a)=0”.
O conteúdo aqui é o teorema de Fermat sobre extremos e derivadas: ele dá condições em que um extremo local força a derivada nula.

Passo 2

Mostramos que a afirmação é falsa sem a hipótese de derivabilidade. Considere
f(x)=lvert xrvert
Esse f tem mínimo local em x=0, porque para todo x próximo de zero temos lvert xrvert>=0=f(0).
Porém as derivadas laterais em 0 são
f'-(0)=limhto0^-lvert hrvert-0h=-1, f'+(0)=limhto0^+lvert hrvert-0h=+1,
ou seja, f'(0) não existe e, em particular, não é igual a zero.

Passo 3

A versão correta do teorema de Fermat é: “Se f é derivável em a e tem extremo local em a, então f'(a)=0”.
Sem exigir que f seja derivável em a, a conclusão pode falhar, como vimos no exemplo de lvert xrvert.

Resposta

A proposição é falsa.

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