Decida se as proposições são falsas ou verdadeiras e justifique:
Se
, então
é ponto de extremo local de
.
Se
Passo 1
O enunciado pede decidir se a proposição “se
então
é ponto de extremo local de
” é verdadeira ou falsa. O conteúdo é cálculo diferencial, envolvendo pontos críticos e testes de extremos locais. Para resolver, vamos usar a definição de extremo local, lembrar que
é condição necessária (mas não suficiente) e apresentar um contraexemplo.
Passo 2
Definimos que
é extremo local de
se existe
tal que ou
(máximo local) ou
(mínimo local). Sabe-se que, se
é derivável em
e tem extremo local em
, então
. Porém, a recíproca (“
implica extremo local”) não vale em geral.
Passo 3
Para mostrar que a implicação é falsa, consideremos a função
Calculamos
Assim,
é ponto crítico de
.
Passo 4
Entretanto, para
temos
, ou seja,
é estritamente crescente tanto à esquerda quanto à direita de
. Logo não existe
que satisfaça as condições de máximo ou mínimo local em
. Portanto,
não é extremo local.
Resposta
A proposição é falsa, pois há pontos críticos (como em
em
) que não são extremos locais.