Decida se as proposições são falsas ou verdadeiras e justifique:
Se f^prime(a)=0, então x=a é ponto de extremo local de f.

Passo 1

O enunciado pede decidir se a proposição “se f'(a)=0 então x=a é ponto de extremo local de f” é verdadeira ou falsa. O conteúdo é cálculo diferencial, envolvendo pontos críticos e testes de extremos locais. Para resolver, vamos usar a definição de extremo local, lembrar que f'(a)=0 é condição necessária (mas não suficiente) e apresentar um contraexemplo.

Passo 2

Definimos que x=a é extremo local de f se existe de<a>0 tal que ou
forall xin (a-de<a,a+de<a),;f(x)<= f(a)
(máximo local) ou
forall xin (a-de<a,a+de<a),;f(x)>= f(a)
(mínimo local). Sabe-se que, se f é derivável em a e tem extremo local em a, então f'(a)=0. Porém, a recíproca (“ f'(a)=0 implica extremo local”) não vale em geral.

Passo 3

Para mostrar que a implicação é falsa, consideremos a função
f(x)=x^3, xinR
Calculamos
f'(x)=3x^2,logo f'(0)=3cdot0^2=0
Assim, x=0 é ponto crítico de f.

Passo 4

Entretanto, para xneq0 temos f'(x)=3x^2>0, ou seja, f é estritamente crescente tanto à esquerda quanto à direita de 0. Logo não existe de<a>0 que satisfaça as condições de máximo ou mínimo local em 0. Portanto, x=0 não é extremo local.

Resposta

A proposição é falsa, pois há pontos críticos (como em f(x)=x^3 em x=0) que não são extremos locais.

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