Decida se as proposições são falsas ou verdadeiras e justifique:
Se a reta y=3 x-1 é tangente ao gráfico de uma função f em x=1, então f(1)=2 e f^prime(1)=3.

Passo 1

O enunciado afirma que, se a reta y=3x-1 é tangente ao gráfico de uma função f em x=1, então f(1)=2 e f'(1)=3. O conteúdo aqui é derivadas e reta tangente: vamos usar a definição de que, para uma função diferenciável em x=a, a reta tangente em a tem coeficiente angular f'(a) e passa pelo ponto (a,f(a)).

Passo 2

A equação geral da reta tangente a f em x=1 é
y = f'(1),(x - 1) + f(1)

Passo 3

Como essa reta deve coincidir com y=3x-1, igualamos os coeficientes de x, obtendo
f'(1) = 3

Passo 4

Igualando os termos constantes das duas retas, temos
f(1) - f'(1)cdot1 = -1 Longrightarrow f(1) - 3 = -1 Longrightarrow f(1)=2

Resposta

A proposição é verdadeira.

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