Questão 7: (3,0 Pontos) O centro de massa de um corpo é um ponto que se comporta como se toda a massa do corpo estivesse concentrada sobre ele. Quando um objeto é homogêneo, o centro de massa coincide com o seu centro geométrico. Porém, isso nem sempre ocorre, e o centro de massa não precisa nem mesmo de estar dentro do corpo. Considere a região limitada pelas funçães f(x)=x e g(x)=x^2 e que a densidade do material é de<a=3.
a) Calcule a massa dessa região.
m=integrala^b de<a(f(x)-g(x)) d x
b) Calcule a coordenada barx=Mym do centro de massa dessa região.
My=integrala^b x de<a(f(x)-g(x)) d x
c) Calcule a coordenada bary=Mxm do centro de massa dessa região.
Mx=integrala^b de<a2((f(x))^2-(g(x))^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região delimitada pelas funções f(x) = x e g(x) = x^2 , com uma densidade constante de de<a = 3 . Precisamos calcular:
a) A massa dessa região.
b) A coordenada barx do centro de massa.
c) A coordenada bary do centro de massa.
Para resolver isso, vamos usar integrais definidas que representam a massa e os momentos dessa região.

Passo 2

Parte a) Calculando a massa da região
Primeiro, vamos calcular a massa da região. A massa m é dada pela integral da densidade sobre a área da região. A fórmula é:
m = integrala^b de<a cdot (f(x) - g(x)) , dx
Aqui, a e b são os limites de integração, que são os pontos onde as funções f(x) = x e g(x) = x^2 se interceptam.
Vamos encontrar esses pontos:
x = x^2 implies x^2 - x = 0 implies x(x - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1
Então, a = 0 e b = 1 .
Substituindo na fórmula da massa:
m = 3 integral0^1 (x - x^2) , dx
Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 (x - x^2) , dx = [ x^22 - x^33 ]0^1 = ( 12 - 13 ) - (0 - 0) = 12 - 13 = 16
Multiplicando pela densidade:
m = 3 cdot 16 = 12

Passo 3

Parte b) Calculando a coordenada barx do centro de massa
A coordenada barx do centro de massa é dada por:
barx = Mym
Onde My é o momento em relação ao eixo y, calculado por:
My = integrala^b x cdot de<a cdot (f(x) - g(x)) , dx
Substituindo os valores:
My = 3 integral0^1 x cdot (x - x^2) , dx = 3 integral0^1 (x^2 - x^3) , dx
Calculando a integral:
integral0^1 (x^2 - x^3) , dx = [ x^33 - x^44 ]0^1 = ( 13 - 14 ) - (0 - 0) = 13 - 14 = 112
Multiplicando pela densidade:
My = 3 cdot 112 = 14
Agora, calculando barx :
barx = Mym = 1412 = 12

Passo 4

Parte c) Calculando a coordenada bary do centro de massa
A coordenada bary do centro de massa é dada por:
bary = Mxm
Onde Mx é o momento em relação ao eixo x, calculado por:
Mx = integrala^b de<a2 ( (f(x))^2 - (g(x))^2 ) , dx
Substituindo as funções:
Mx = 32 integral0^1 ( x^2 - (x^2)^2 ) , dx = 32 integral0^1 (x^2 - x^4) , dx
Calculando a integral:
integral0^1 (x^2 - x^4) , dx = [ x^33 - x^55 ]0^1 = ( 13 - 15 ) - (0 - 0) = 13 - 15 = 215
Multiplicando pela constante:
Mx = 32 cdot 215 = 15
Agora, calculando bary :
bary = Mxm = 1512 = 25

Resposta

a) A massa da região é 12 .
b) A coordenada barx do centro de massa é 12 .
c) A coordenada bary do centro de massa é 25 .

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