Questão 7: (3,0 Pontos) O centro de massa de um corpo é um ponto que se comporta como se toda a massa do corpo estivesse concentrada sobre ele. Quando um objeto é homogêneo, o centro de massa coincide com o seu centro geométrico. Porém, isso nem sempre ocorre, e o centro de massa não precisa nem mesmo de estar dentro do corpo. Considere a região limitada pelas funçães
e
e que a densidade do material é
.
a) Calcule a massa dessa região.
b) Calcule a coordenada
do centro de massa dessa região.
c) Calcule a coordenada
do centro de massa dessa região.
a) Calcule a massa dessa região.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região delimitada pelas funções
e
, com uma densidade constante de
. Precisamos calcular:
a) A massa dessa região.
b) A coordenada
do centro de massa.
c) A coordenada
do centro de massa.
Para resolver isso, vamos usar integrais definidas que representam a massa e os momentos dessa região.
Passo 2
Parte a) Calculando a massa da região
Primeiro, vamos calcular a massa da região. A massa
é dada pela integral da densidade sobre a área da região. A fórmula é:
Aqui,
e
são os limites de integração, que são os pontos onde as funções
e
se interceptam.
Vamos encontrar esses pontos:
Então,
e
.
Substituindo na fórmula da massa:
Agora, vamos calcular a integral:
Multiplicando pela densidade:
Passo 3
Parte b) Calculando a coordenada
do centro de massa
A coordenada
do centro de massa é dada por:
Onde
é o momento em relação ao eixo y, calculado por:
Substituindo os valores:
Calculando a integral:
Multiplicando pela densidade:
Agora, calculando
:
Passo 4
Parte c) Calculando a coordenada
do centro de massa
A coordenada
do centro de massa é dada por:
Onde
é o momento em relação ao eixo x, calculado por:
Substituindo as funções:
Calculando a integral:
Multiplicando pela constante:
Agora, calculando
:
Resposta
a) A massa da região é
.
b) A coordenada
do centro de massa é
.
c) A coordenada
do centro de massa é
.