Resolva as equações diferenciais a seguir:
a y^2+b-x y y prime=0 com a, b in R e a neq 0

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa equação diferencial: a y^2 + b - x y y' = 0 , onde a e b são números reais e a neq 0 . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e técnicas de substituição. Vamos por partes para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar y' . A equação original é:
a y^2 + b - x y y' = 0
Vamos mover x y y' para o outro lado:
a y^2 + b = x y y'
Dividindo ambos os lados por x y :
y' = a y^2 + bx y

Passo 3

Agora, simplificamos a expressão dividindo cada termo no numerador por x y :
y' = a y^2x y + bx y
Isso simplifica para:
y' = a yx + bx y

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja v = y^2 . Então, a derivada de v em relação a x é:
v' = 2 y y'
Isso significa que:
y y' = v'2
Substituindo na equação anterior:
a y^2 + b = x cdot v'2
Como v = y^2 , temos:
a v + b = x v'2

Passo 5

Vamos reorganizar para obter uma equação linear em v :
x v' - 2 a v = 2 b
Dividindo ambos os lados por x :
v' - 2 ax v = 2 bx
Essa é uma equação diferencial linear da forma v' + P(x) v = Q(x) , onde:
P(x) = -2 ax
Q(x) = 2 bx

Passo 6

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante mu(x) :
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -2 ax dx = e^-2 a ln x = x^-2 a
Multiplicamos toda a equação por mu(x) :
x^-2 a v' - 2 ax x^-2 a v = 2 bx x^-2 a
Isso simplifica para:
ddx (x^-2 a v) = 2 bx^2 a + 1

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a x :
x^-2 a v = integral 2 bx^2 a + 1 dx + C
Calculando a integral:
integral 2 bx^2 a + 1 dx = 2 b cdot x^-2 a-2 a + C = -ba x^-2 a + C
Portanto:
v = x^2 a ( -ba x^-2 a + C ) = -ba + C x^2 a

Passo 8

Lembrando que v = y^2 , substituímos de volta:
y^2 = -ba + C x^2 a
Finalmente, isolamos y :
y = raizC x^2 a - ba

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = raizC x^2 a - ba
onde C é uma constante de integração.

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