Resolva as equações diferenciais a seguir:
com
e
Passo 1
E aí! Vamos resolver essa equação diferencial:
, onde
e
são números reais e
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e técnicas de substituição. Vamos por partes para facilitar o entendimento!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. A equação original é:
Vamos mover
para o outro lado:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, simplificamos a expressão dividindo cada termo no numerador por
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que:
Substituindo na equação anterior:
Como
, temos:
Passo 5
Vamos reorganizar para obter uma equação linear em
:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial linear da forma
, onde:
Passo 6
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante de integração.