Quais das seguintes matrizes são semelhantes uma a outra?
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A=\left(\right), B=\left(\right), C=\left(\right), D=\left(\right)
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Passo 1
O enunciado dá quatro matrizes e pede quais são semelhantes. Para decidir isso vamos usar invariantes de similaridade: polinômio característico (autovalores e suas multiplicidades), polinômio mínimo (blocos de Jordan e diagonalizabilidade). Se duas matrizes têm mesmo polinômio característico e mesmo polinômio mínimo, então elas são semelhantes.
Passo 2
Calculamos para cada matriz.
Para :
Logo os autovalores são lambda=0,pmraiz5, todos simples.
A tem três autovalores distintos, logo é diagonalizável e seu polinômio mínimo é
mA(lambda)=lambda(lambda^2-5)
C é nilpotente de posto 1 e calcula-se C^2=0, mas Cneq0. Assim
mC(lambda)=lambda^2,
e C não é diagonalizável.
B é simétrica real, logo diagonalizável, e seus autovalores são 2 e -1. Então
mB(lambda)=(lambda-2)(lambda+1)
Para D notamos que dimker(D+I)=2 (autovalor -1 tem 2 vetores próprios) e lambda=2 é simples, portanto D também é diagonalizável com o mesmo polinômio mínimo de B:
mD(lambda)=(lambda-2)(lambda+1)
Passo 4
Duas matrizes são semelhantes se e somente se têm o mesmo polinômio característico e o mesmo polinômio mínimo. Comparando:
A tem chiA(lambda)=-lambda(lambda^2-5), diferente de todos.
C tem chiC(lambda)=lambda^3, único nilpotente.
B e D têm ambas chi(lambda)=(lambda-2)(lambda+1)^2 e m(lambda)=(lambda-2)(lambda+1).
Portanto B e D são semelhantes entre si, e nenhuma outra combinação ocorre.