Quais das seguintes matrizes são semelhantes uma a outra?
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A=\left( \right), B=\left( \right), C=\left( \right), D=\left( \right)
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Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes A,B,C,Din M3( R) e pede quais são semelhantes. Para decidir isso vamos usar invariantes de similaridade: polinômio característico (autovalores e suas multiplicidades), polinômio mínimo (blocos de Jordan e diagonalizabilidade). Se duas matrizes têm mesmo polinômio característico e mesmo polinômio mínimo, então elas são semelhantes.

Passo 2

Calculamos chiM(lambda)=det(M-lambda I) para cada matriz.
Para A:
chiA(lambda) =det 1-lambda & 2 & 0 0 & 1-lambda & 2 1 & 1 & -2-lambda =-lambda(lambda^2-5)
Logo os autovalores são lambda=0,pmraiz5, todos simples.
Para B:
chiB(lambda) =det -lambda & 1 & 1 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda =-(lambda^3-3lambda-2) =(lambda-2)(lambda+1)^2
Autovalores lambda=2 (simples) e lambda=-1 (multiplicidade algébrica 2).
Para C:
Como as três linhas são múltiplos de (-1,2,5), rank(C)=1 e tr(C)=0. Logo
chiC(lambda)=lambda^3,
isto é, 0 é único autovalor com multiplicidade 3.
Para D:
chiD(lambda) =det 1-lambda & 2 & 0 1 & -lambda & 0 2 & 2 & -1-lambda =-(lambda^3-3lambda-2) =(lambda-2)(lambda+1)^2,
mesmo polinômio de B.

Passo 3

Agora o polinômio mínimo e a diagonalizabilidade:
  • A tem três autovalores distintos, logo é diagonalizável e seu polinômio mínimo é
mA(lambda)=lambda(lambda^2-5)
  • C é nilpotente de posto 1 e calcula-se C^2=0, mas Cneq0. Assim
mC(lambda)=lambda^2,
e C não é diagonalizável.
  • B é simétrica real, logo diagonalizável, e seus autovalores são 2 e -1. Então
mB(lambda)=(lambda-2)(lambda+1)
  • Para D notamos que dimker(D+I)=2 (autovalor -1 tem 2 vetores próprios) e lambda=2 é simples, portanto D também é diagonalizável com o mesmo polinômio mínimo de B:
mD(lambda)=(lambda-2)(lambda+1)

Passo 4

Duas matrizes são semelhantes se e somente se têm o mesmo polinômio característico e o mesmo polinômio mínimo. Comparando:
  • A tem chiA(lambda)=-lambda(lambda^2-5), diferente de todos.
  • C tem chiC(lambda)=lambda^3, único nilpotente.
  • B e D têm ambas chi(lambda)=(lambda-2)(lambda+1)^2 e m(lambda)=(lambda-2)(lambda+1).
Portanto B e D são semelhantes entre si, e nenhuma outra combinação ocorre.

Resposta

Apenas B e D são semelhantes.

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