Se lembre de GAAL que um autovetor da matriz n times n A é um vetor não nulo v in R^n tal que A cdot v=lambda cdot v com lambda in R. O valor lambda é o autovalor associado ao autovetor v. Suponha que R^n possui uma base v1, v2, ldots, vn composta de autovetores de A, e que o autovalor associado a vi é lambdai.
Mostre que a matriz A é semelhante à matriz diagonal D tendo lambda1, lambda2, ldots, lambdan como entradas da diagonal principal.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz ntimes n que possui uma base de R^n formada por autovetores v1,v2,dots,vn, com A,vi=lambdai,vi. O conteúdo que vamos usar é a mudança de base em Álgebra Linear: dado um operador linear (ou matriz) e uma base, a matriz de representação nessa base revela propriedades como diagonalização e semelhança de matrizes. Nosso objetivo é mostrar que existe uma matriz invertível P tal que
P^-1,A,P = D
onde
D = lambda1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan

Passo 2

Definimos a matriz P cujas colunas são justamente os autovetores da base:
P = l[v1;;v2;;cdots;;vnr]
Como v1,dots,vn é uma base de R^n, as colunas de P são linearmente independentes e, portanto, P é invertível.

Passo 3

Vamos calcular o produto A,P. Pela definição de P,
A,P ;=; l[A,v1;;A,v2;;cdots;;A,vnr] ;=;l[lambda1,v1;;lambda2,v2;;cdots;;lambdan,vnr]
Mas isso é exatamente
l[v1;;v2;;cdots;;vnr] lambda1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan ;=;P,D
Logo obtivemos a relação matricial fundamental
A,P = P,D

Passo 4

Multiplicando a igualdade A,P = P,D pela esquerda por P^-1, fica
P^-1,A,P = D
Isso mostra que A é semelhante à matriz diagonal D cujas entradas na diagonal principal são exatamente lambda1,lambda2,dots,lambdan.

Resposta

Concluímos que, se v1,dots,vn é base de autovetores de A com autovalores lambdai, então tomando
P = l[v1;;cdots;;vnr],
temos
P^-1,A,P = lambda1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan
Ou seja, A é semelhante à matriz diagonal D.

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